为什么热光场的光强服从指数分布？
1. 精彩的推理
诺奖得主 Ketterle 在8.422公开课中讲经典热光场的 $g^{(2)}$ 时用了一个非常妙的论证：
根据中心极限定理，电场 $E$ 服从高斯分布，于是光强 $I$ 服从指数分布。
指数分布的概率密度函数（pdf）为： $f(x) = \gamma e^{-\gamma x}$ 。
而指数分布的矩有如下性质：
$\langle I^n \rangle = n! \langle I\rangle^n$
于是一个热光场的经典二阶关联函数 $g^{(2)}(0)$ 就等于
$g^{(2)} := \langle I^2\rangle/\langle I\rangle^2 = 2$
这个论证非常美妙，因为它充分利用了热光场的“混乱（chaotic）”性质：根据中心极限定理，无论各个频率模式上的电场的概率分布如何，它们的叠加一定服从高斯分布。从而电场的平方就服从指数分布。
2. 概统复习
等等，真有这么简单吗？我们用本科就学过的概统知识来分析一下，如果一个随机变量服从高斯分布，那么它的平方真的服从指数分布吗？
我们写出高斯分布的 cdf（累积密度函数）：
$p(E<x) = \Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}t$
则光强的 cdf 为
$p(I<y) = p(E^2 < y) = p(-\sqrt{y}<E<\sqrt{y}) = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1$
所以光强的 pdf 应该是
$f(y) = p^\prime(I < y) = 2 \Phi^\prime(\sqrt{y}) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi y}} e^{-\frac{y}{2\sigma^2}}$
这不是指数分布！和真正的指数分布相比，它多了一个 $y^{-1/2}$ 因子。
问题出在哪里？
我们可以换个思路，反过来问：如果一个随机变量服从指数分布，那么它的平方根服从什么分布？
指数分布的 cdf 为：
$p(I<y) = 1 - e^{-\gamma y}$
那么电场的 cdf 为：
$p(E < x) = \frac{1 + p(-x<E<x)}{2} = \frac{1 + p(I<x^2)}{2} = \frac{2 - e^{-\gamma x^2}}{2}$
所以电场的 pdf 应该是：
$f(x) = p^\prime(E<x) = \gamma x e^{-\gamma x^2}$
这个分布叫做瑞利分布，它比高斯分布多了一个 $x$ 因子。
直觉敏锐的同学可以想到，瑞利分布实际上对应一个服从高斯分布的二维随机向量的模长：
$f(r) = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} r\mathrm{d}\theta$
等等，电场原来是一个二维随机变量？没错！电场除了幅值，还有相位——它其实是一个复数！如果一个复随机变量服从高斯分布，那么它的模平方确实就服从指数分布了。
到此为止，问题完美解决。
3. 从经典到量子
不过，以上所有都只能说明经典 $g^{(2)}$ 为 2，不能说明量子 $g^{(2)}$ 也是 2。
量子 $g^{(2)}$ 与经典 $g^{(2)}$ 的唯一不同就是考虑了光的粒子性。如果你探测到了一个光子，那么光场就少了一个光子。因此量子 $g^{(2)}$ 不是 $\langle n ^2\rangle/\langle n\rangle^2$ ，而是 $\langle n (n-1)\rangle/\langle n\rangle^2$ 。
有没有一种可能，量子 $g^{(2)}$ 其实不是等于 2，而是等于 1.9999？幸运的是，尽管量子 $g^{(2)}$ 与经典 $g^{(2)}$ 的形式有所不同，量子 $g^{(2)}$ 仍然等于 2。下面我们来推导一下。
根据 Boltzmann law，热平衡时有：
$p_n = p_0 e^{-n\omega/T} = (1-e^{-\omega/T}) e^{n\omega/T}$
其中 $p_n$ 是某个模式上光子数为 n 的概率。
这是一个几何分布。几何分布是指数分布的离散版本，指数分布是几何分布的连续版本。
于是量子 $g^{(2)}$ 为
$\begin{align} g^{(2)} := \frac{\langle n(n-1) \rangle}{\langle n\rangle^2} = \frac{\sum n(n-1) p_n }{(\sum n p_n)^2} = 2 \end{align}$
计算留给读者作为一个有趣的练习。关键在于计算指数分布的矩，它比指数分布的矩要复杂得多。
可见，虽然量子 $g^{(2)}$ 的形式变了，但对应的概率分布，也从光强所服从的指数分布，变成了粒子数所服从的几何分布。这两个效应完美抵消，使得量子 $g^{(2)}$ 仍然等于 2。
4. 量子性
量子 $g^{(2)}$ 比经典 $g^{(2)}$ 特殊在哪呢？特殊之处在于：量子 $g^{(2)}$ 可以小于 1，而经典 $g^{(2)}$ 不能小于 1。
对于经典 $g^{(2)}$ 而言，$g^{(2)} = \langle I^2 \rangle / \langle I\rangle^2 \ge [\cancel{\text{Var}(I)} + \langle I\rangle^2] / \langle I\rangle^2 = 1$ ，也就是说最小值当且仅当光强不变时取到，即当电场是一个幅值不变的正弦波时取到。
而量子 $g^{(2)}$ 就不一样了。探测到一个光子就意味着光场少了一个光子，而单光子态只有一个光子，探测到一个就没了。可见对于单光子态而言，量子 $g^{(2)}$ 为 0。
更一般而言，对于量子 $g^{(2)}$ 小于 1 的光场，我们称之为亚泊松光场；对于量子 $g^{(2)}$ 大于 1 的光场，我们称之为超泊松光场。
当光场为（相位确定或不确定的）相干态时，量子 $g^{(2)}$ 等于 1，此时光子数服从泊松分布。它的经典对应是一个相位确定或不确定（但幅值确定）的正弦波。
量子 $g^{(2)}$ 还有一个特殊之处：对于热光场而言，即使只有一个频率模式，该模式也能表现出量子 $g^{(2)}$ 为 2。而对于经典热光场而言，之前的论证可能涉及不同模式之间的叠加。这一点在公开课中一度引起了困惑。
当然，如果对经典情形也使用 Boltzmann law，也可以立即得到指数分布。只不过利用中心极限定理的论证实在很妙。也许中心极限定理与 Boltzmann law 之间有普适的联系。