SPDC产生的频率纠缠光，其中的闲置光经过光纤放大器，还与信号光纠缠吗？

SPDC产生的频率纠缠光，其中的闲置光经过光纤放大器，还与信号光纠缠吗？

我们先用极限思维，考虑两个极限：

极限1：放大器的增益等于1，也就是没有任何增益

此时放大器相当于啥也没做，是一个identity channel。那么当然纠缠还是会保持的。（其实也不一定。即使增益为零，也可能引入额外的噪声，我们这里暂且忽略）

极限2：放大器的增益非常大。

假设此时纠缠能够保持，那么我们是可以得到宏观的薛定谔猫态的。但是这样的态实验上基本得不到，因为它早就退相干了。（当然，也有一些例外，例如 bright squeezed states）

那么，介于这两个极限之间，我们可以说，当增益比较小的时候，纠缠能够保持，但是增益比较大的时候（实际上这个“比较大”的数量级估计也就是～10，参考 N00N 态），由于噪声或者退相干，纠缠会消失掉。

下面我们分两种情况讨论，分别是基于 $\chi^{(2)}$ 非线性的参量放大器和基于受激辐射的放大器。

一、基于 $\chi^{(2)}$ 非线性的光放大器

如果这里的光纤放大器是基于 $\chi^{(2)}$ 非线性，即 PDC，参量下转换。PDC 如果用来做光放大，那么也可以叫做 OPA，即光学参量放大。注意，这里的 PDC 要和 SPDC，即自发参量下转换区分开。

假设 SPDC 和 OPA 的 pump 足够强，那么它们的哈密顿量就分别可以写成：

$H_\text{SPDC}=\mathrm{i}\hbar(\hat{a}^\dag \hat{b}^\dag - \hat{a} \hat{b})$

$H_\text{OPA} = \mathrm{i}\hbar(\hat{b}^\dag \hat{c}^\dag -\hat{b}\hat{c})$

其中 $\hat{a}$ 和 $\hat{b}$ 代表 SPDC 的 idler 和 signal 模式上的湮灭算符， $\hat{b}$ 和 $\hat{c}$ 代表 OPA 的 signal 和 idler 模式上的湮灭算符。

那么最终的量子态就是

$|\Psi\rangle = \exp[\mathrm{i}g_\text{2}H_\text{OPA} /\hbar]\exp[\mathrm{i}g_\text{1}H_\text{SPDC}/\hbar] |0,0,0\rangle_{abc}$

其中 $g_1$ 是 SPDC 的增益的对数， $g_2$ 是 OPA 的增益的对数。

最后再 trace 掉 OPA 的 idler 就行了：

$\rho=\operatorname{tr}_c[|\Psi\rangle\langle\Psi|]$

严格的具体计算可能不太好算，做量子信息理论的大佬看到有兴趣的话可以帮忙算一下。另外还要考虑用什么 entanglement measure。PPT 准则肯定用不了，因为这是两个 mode，而不是两个 qubit。

不过也可以猜一下计算过程：盲猜经过 OPA 并且 trace 掉 OPA idler 的这个过程等价于一个 dephasing channel。然后我们再把 SPDC 态在低增益极限下近似为一个贝尔态。此时纠缠程度就直接取决于 dephasing 的强度了，这个强度与 OPA 的增益正相关，并且很可能正比于增益，也就是 $\exp(g_2)$ 。考虑一个 20 分贝的增益，那么纠缠程度会减小 $10^{20/10} = 100$ 倍。

所以经过一通“如算”，我们得到结论：OPA 的增益越大，纠缠程度越小。

二、基于受激辐射的光放大器

以上说的是基于参量下转换的放大器。但最常用的 EDFA 并不是基于 $\chi^{(2)}$ 非线性的，而是基于受激辐射光放大的，和激光的原理一样。

这个时候的哈密顿量就要比 OPA 复杂多了，因为涉及到原子。我们先考虑单模光场：

$H = \hbar\omega a^\dag a + \sum_j \hbar \omega_a \sigma^+_j \sigma^-_j + \hbar \Omega \sum_j (\sigma^+_j a -\sigma_j^- a^\dag)$

其中 $\omega$ 是光场的频率， $\omega_a$ 是原子的能级差， $\sigma^{\pm}$ 是原子能级的升降算符， $\Omega$ 是拉比频率。

这其实就是 Tavis-Cummings model 的哈密顿量。这玩意儿是没有通用解析解的，所以只能做做微扰近似。

经过一顿微扰计算 [1]，我们可以得到：

$(\Delta X)^2 = G (\Delta X_{0})^2 + (2 n_{\text{sp}}-1)(G-1) \frac{1}{4}$

其中 $X$ 是光场的任意一个 quadrature，可以理解为电场强度的实部或虚部。 $G$ 是增益。 $n_\text{sp} = \frac{N_2}{N_2-N_1}$ 表示布居数反转的程度， $n_\text{sp}$ 越大，反转程度越低， $n_\text{sp}$ 越小，反转程度越高，最小为 1。

可以发现，EDFA 不仅将输入信号的噪声放大了 $G$ 倍，还额外引入了真空场的噪声，并且将真空场的噪声放大了 $ (2 n_{\text{sp}}-1)(G-1)$ 倍。这就是 ASE，Amplified Spontaneous Emission，即被放大的自发辐射噪声。见下图：

以上说的是动力学。这些动力学如何影响纠缠呢？

众所周知，SPDC 得到的 signal 和 idler 是一个纠缠态： $|\Psi\rangle_\text{SPDC} \approx |\text{vac}\rangle + \lambda \int \mathrm{d}\omega_s \mathrm{d}\omega_i f(\omega_s,\omega_i)a^\dag_s(\omega_s) a^\dag_i(\omega_i) |\text{vac}\rangle$ ，其中 $f(\omega_s,\omega_i)$ 是联合频率分布，取决于相位匹配条件和 pump 的线宽（也就是动量守恒与能量守恒条件）。 $|\text{vac}\rangle$ 代表所有模式上的真空态， $\lambda \ll 1$ 表示低增益极限下的 SPDC 的平均光子数，这是实验上常用的情况。

$f(\omega_s,\omega_i)$ 通常不是可分的，即不能被写成 $f(\omega_s,\omega_i) = f_s(\omega_s) f_i(\omega_i)$ 。因此 SPDC 的 signal 和 idler 模式之间呈现出频率纠缠。

既然是频率纠缠，那么我们就要考虑多模情况。为了简单起见，我们只考虑两个频率模式 $\omega = \mu,\nu$ 。那么可以将 SPDC 态写成：

$|\text{vac}\rangle + \lambda (|1\rangle \otimes |0\rangle \otimes |0\rangle \otimes |1\rangle+ |0\rangle \otimes |1\rangle \otimes |1\rangle \otimes |0\rangle)$

其中从左到右四个模式分别是 signal 的 $\mu$ 和 $\nu$ 频率模式和 idler 的 $\mu$ 和 $\nu$ 频率模式。经过 EDFA 放大，得到：

$|0\rangle \otimes |0\rangle \otimes |G,0\rangle \otimes |G,0\rangle +\lambda(|1\rangle \otimes |0\rangle \otimes |G,0\rangle \otimes |G,1\rangle+ |0\rangle \otimes |1\rangle \otimes |G,1\rangle \otimes |G,0\rangle)$

其中 $|G,0\rangle,|G,1\rangle$ 分别表示 $|0\rangle ,|1\rangle$ 经过 EDFA 得到的态。这个东西我实在是不会算。但是我们可以从它们的 Wigner 函数的形状上看出一些端倪。

我们首先看一下 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的 Wigner 函数：

它们经过大增益的 EDFA 之后，就会像一张大饼一样，从原点向四面八方摊平，并且还要再加上被放大的自发辐射噪声（ASE），从而单光子数态的 Wigner negativity 应该也会消失。

此时的态已经完全是一个粒子数和相位不确定性都非常大的混态，类似于 thermal state。为什么我 claim 它是一个混态？这是因为在 Tavis-Cummings model 中，最后一步的计算要 trace 掉原子态，这几乎一定会给出一个混态。

在如此大的增益以及粒子数不确定性下， $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的区别已经不大，因此应当会有 $|G,0\rangle \approx |G,1\rangle$ 。于是量子态就可以写成：

$ [|0\rangle \otimes |0\rangle+\lambda(|1\rangle \otimes |0\rangle + |0\rangle \otimes |1\rangle)] \otimes (|G,0\rangle \otimes |G,0\rangle)$

前两个模式是 signal 模式，后两个模式是 idler 模式，可见，现在它们不再纠缠，而是可分态。

总结一下就是，EDFA 会将输入信号的噪声放大，并且还额外引入 ASE 噪声，这些噪声会导致量子态变成一个混态。而一般来说，纠缠的纯态变成混态之后，纠缠程度会变低乃至消失。

如果实在非常想刨根问底，可以根据 [1] 中的步骤，在 Tavis-Cummings model 中用微扰论计算一下量子态的演化（[1] 中是在海森堡表象下计算，因此只能给出算符的期望值，而不是量子态）。

参考

1. Inoue, K. Quantum Noise in Optical Amplifiers. in Optical Amplifiers - A Few Different Dimensions (ed. Choudhury, P. K.) (InTech, 2018). doi:10.5772/intechopen.72992.