光子和电磁场波包有什么关系

一个波包可以对应一个光子

例：一个光子可以处于不同频率的相干叠加态中： $|\psi\rangle=\sum_{k}c_k|k\rangle,\quad \sum_k|c_k|^2=1$ ，此时该光子可以表现为一个波包。

你可以想象一个原子退激发产生一个光子，这个光子当然会表现为一个波包。

有人可能会 argue：如果排除各种非理想因素，那么这个光子的线宽只取决于自然展宽（寿命），可以看成是单一频率，从而定域性较差，不能说是一个波包。的确如此。
但是如果考虑脉冲式泵浦且为 low-gain regime 下的参量过程所产生的单光子，其自然线宽本身就是非常大的。此时它的确处于不同频率的相干叠加态中，在时域上表现为一个定域性良好的波包。

定义 单光子态

形如 $\sum_{k}c_k|0,\cdots,\underbrace{1}_{k-\text{th}},\cdots,0\rangle$ 的态叫做单光子态，其中 $|0,\cdots,\underbrace{1}_{k-\text{th}},\cdots,0\rangle$ 表示第 k 个模式上有一个光子，且 $\sum_{k}|c_k|^2=1$ 。

直观来看，把不同模式上有一个光子的态相干叠加起来，仍然是单光子态。

但是一个光子不一定是一个波包

反例 1：一个光子通过 NPBS（non-polarizing beam splitter）之后会同时走两条路：透射路和反射路。此时该光子是非定域的。

反例 2：一个圆偏振的光子在通过 PBS（polarizing beam splitter）之后会同时走两条路：透射路和反射路。此时该光子是非定域的。如果将路径看做希尔伯特空间的一个自由度，那么此时该光子处于路径和偏振的纠缠态。

反例 3：一个光子也可以是同一个路径上的两个波包：用一个 PBS 将一个光子分成两路，再用另一个 PBS 将这两路重新合起来，如果两路的光程不同，那么重新合起来之后，该光子就变成了一前一后两个波包。

**反例 4：**一个光子甚至可以自己与自己发生干涉：先把该光子分成两个波包，再控制两路的光程近似相同，最后将两个波包重新重合起来。这就是单光子级别下的迈克尔逊/马赫曾德尔干涉仪。

更多有趣的光子态

以上三个反例都与时空模式有关，且都是非常熟知的事实，下面给出其他一些有意思的态，或许可以刷新你对光子的理解。

例 1：频率叠加态

正如上面所说，一个光子可以处于不同频率的叠加态中。更重要的是，光子在频域中也可以是两个波包而不是一个波包。例如，一个光子可以处于波长为 1557nm 和波长为 1563nm 的叠加态，实验上可以制备这样的态[1]。

例 2：电场叠加态（薛定谔猫态）

在光子数很少的情况下，电场和磁场也是有显著的不确定性的（正如动量和位置具有不确定性一样）。电场和磁场构成一对 canonical variables。

实验上可以制备薛定谔猫态，即电场处于 $|\alpha\rangle$ 和 $|-\alpha\rangle$ 的叠加态中。此时，如果你测量某一点（沿偏振方向）的电场，可能测到正，也可能测到负。

当光子数较多时，这样的态是很脆弱的，会快速退相干为 $|\alpha\rangle$ 和 $|-\alpha\rangle$ 的统计混合。

而在光子数较低的级别下，实验上可以制备这样的态[2]。

例 3：频率纠缠态

两个光子还可以处于频率纠缠态： $|\psi\rangle=\frac{1}{2}(|\mu\rangle \otimes|\nu\rangle+|\nu\rangle \otimes|\mu\rangle)$ 。简而言之，如果观测到一个光子的波长是 1557nm，那么另一个光子的波长立刻就会坍缩到 1663nm，反之亦然[1]。

例 4：数量纠缠态

实验上可以制备 NOON 态： $|\psi\rangle=\frac{1}{2}(|N,0\rangle + |0,N\rangle)$ ，即，如果一个模式有 N 个光子，那么另一个模式就没有光子，反之亦然。而且要么是 0，要么是 N，不能是别的数。

这两个模式可以是空间模式。此时你可以想象一群光子处于全都往左走和全都往右走的叠加态中。如果你在一边探测到 N 个光子，那么你就能立刻知道遥远的彼端没有光子，反之亦然。

当然，当光子数较多时，这样的态是比较脆弱的，很难保证各个光子之间保持稳定的相位关系。

总之，光子的自由度是很多的。你能想到的任何自由度，我们都可以进行叠加和纠缠。只是在光子数较大时有三个困难，一是难以制备，二是容易退相干，三是难以刻画（state tomography）。

一个光子可以是一个波包，也可以不是一个波包；一个波包可以是一个光子，也可以不是一个光子。重点在于理解量子力学中的相干叠加（coherent superposition）： $\sum_{k}c_k|0,\cdots,\underbrace{1}_{k-\text{th}},\cdots,0\rangle$ 。

参考

1. ^abShukhin, A., Hurvitz, I., Trajtenberg-Mills, S., Arie, A. & Eisenberg, H. Two-dimensional Control of a Biphoton Joint Spectrum. Preprint at http://arxiv.org/abs/2311.09660 (2023).
2. ^Lvovsky, A. I. et al. Production and applications of non-Gaussian quantum states of light. Preprint at http://arxiv.org/abs/2006.16985 (2020).