光子的轨道角动量

前言

1992 年发表在 PRA 上的一篇文章 [1] 指出，光子也有轨道角动量（OAM，Orbital Angular Momentum）。与自旋角动量（即偏振，SAM，Spin Angular Momentum）只能取 $\pm \hbar$ 相比，轨道角动量可以取 $\hbar$ 的任意整数倍。这样的轨道角动量可以由螺旋形状的波前所携带。

你可能会惊奇：人们竟然到 1992 年才发现这件事情？实际上，早在 1992 年之前，螺旋形状的波前已经被人研究过；携带大于 $\hbar$ 的角动量的光子也早就已经被原子物理所预言（只不过它们来源于高阶跃迁过程，而高阶跃迁过程不满足选择定则，因此概率非常低，实验上基本没法观测）。直到 1992 年，Allen 等人才指出波前为螺旋形状的光束携带量子化的轨道角动量。

1992 年到 2001 年之间对 OAM 的研究基本处于宏观电磁波（大量光子的相干态）的范畴。诺奖得主 Zeilinger 组在 2001 年的一篇文章 [2] 中第一次研究了单个光子的轨道角动量及其纠缠。从此以后，OAM 也获得了量子信息和量子光学研究者们的兴趣。OAM 在量子信息中的一个可能的应用就是量子精密测量，这是因为它的 $e^{\mathrm{i}l\varphi}$ 因子有助于将角度测量的精度提升 $l$ 倍。另外，SAM 和 OAM 之间可以通过 q-plate 相互作用，有助于量子信息处理。OAM 还有许多其他经典应用 [3]，这里就不赘述了。

一、Hermite-Gaussian (HG) 光束

在介绍携带轨道角动量的拉盖尔-高斯光束（Laguerre-Gaussian 光束）之前，我们最好先介绍埃尔米特-高斯光束（Hermite-Gaussian 光束）。

为什么要介绍高斯光束？因为实验上能得到的电磁波并不是理想平面波，而是激光器所输出的高斯光束。

普通的埃尔米特-高斯光束的电场强度大小如下：

$\begin{aligned} E_{m,n}(x,y,z) = & ,E_0 \color{blue}{ \frac{w_0}{w(z)}\exp\left[-\frac{x^2+y^2}{w(z)^2}\right] } \times \\ & \color{green}{\exp\left[-\mathrm{i}\frac{k(x^2+y^2)}{2 R(z)}\right]} \color{orange}{\exp\left[\mathrm{i}\psi(z)\right]} \color{gray}{\exp[-\mathrm{i}kz]} \times \\ & \color{red}{H_m\left[\sqrt{2}\frac{x}{w(z)}\right]H_n\left[\sqrt{2}\frac{y}{w(z)}\right]} \end{aligned} $

其中：

$\color{blue}{w(z) = w_0 \sqrt{1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^2}}$ 代表 $z$ 处的波束宽度， $z_R = \pi\frac{w_0^2}{\lambda}$ 是瑞利长度（Rayleigh length），定义为波束宽度发散到束腰宽度的 $\sqrt{2}$ 倍时的 $z$ 值。

$\color{green}{R(z) = \frac{z^2 + z_R^2}{z}}$ 代表 $z$ 处波前的曲率半径。

$\color{orange}{\psi(z)=\arctan\left(\frac{z}{z_R}\right)}$ 代表古伊相移（Gouy phase shift）。从负无穷远到正无穷远一共有 $\pi$ 的额外相移。

$\color{red}{H_m(t)}$ 是 $m$ 阶埃尔米特多项式。它们也是量子谐振子的能量本征解。当 $m,n$ 都等于零时，退化为基模高斯光束。大部分激光器输出的都是基模高斯光束。

可见，记忆高斯光束并不难，只要记住三个特征： $\color{blue}{\text{束腰发散}}$ 、 $\color{green}{\text{曲率半径}}$ 、 $\color{orange}{\text{古伊相移}}$ ，即可。

还有一个比较有用的量是发散角。从 $\color{blue}{w(z) = w_0 \sqrt{1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^2}}$ 中可以看出发散角的正切值为 $\tan \theta=\frac{w_0}{z_R}$ ，于是有 $w_0 \tan \theta = \frac{\lambda}{\pi}$ 。

高斯光束的形状完全由波长、束腰半径、发散角三个中的任意两个决定。这三者之间的关系已经由 $w_0 \tan \theta = \frac{\lambda}{\pi}$ 给出。

$E_{m,n}(x,y,z)$ 只表示电场强度的大小，并未包含偏振信息。

加上偏振信息是很容易的：如果是 $x$ 方向偏振，只需要将 $E_{m,n}(x,y,z)$ 乘以 $x$ 方向的单位向量 $\hat{x}$ 即可。如果是圆偏振，只要乘以 $\hat{x} \pm \mathrm{i}\hat{y}$ 即可。

注意到 $E_{m,n}(x,y,z)$ 是一个复数。对于经典电磁波而言，真正的电场强度是它的实部。对于量子电磁波而言，我们可以指定该模式上的一个湮灭算符，这个湮灭算符是平面波湮灭算符的线性组合，系数可以由傅里叶分析得到。

二、Laguerre-Gaussian (LG) 光束

在二维量子谐振子的解中，除了 Hermite 多项式所代表的线性振动以外，还有 Laguerre 多项式所代表的旋转运动。

下面我们给出拉盖尔-高斯光束的形式：

$\begin{aligned} E_{l,p}(r,\varphi,z) = & ,E_0 \color{blue}{ \frac{w_0}{w(z)}\exp\left[-\frac{r^2}{w(z)^2}\right] } \times \\ & \color{green}{\exp\left[-\mathrm{i}\frac{kr^2}{2 R(z)}\right]} \color{orange}{\exp\left[\mathrm{i}\psi(z)\right]} \color{gray}{\exp[-\mathrm{i}kz]} \times \\ & \color{red}{\left(\sqrt{2}\frac{r}{w(z)}\right)^{|l|} L_p^{|l|} \left(2 \frac{r^2}{w(z)^2}\right) \exp(-\mathrm{i}l\varphi)} \end{aligned} $

其中 $\color{blue}{\text{束腰发散}}$ 和 $\color{green}{\text{曲率半径}}$ 与埃尔米特-高斯光束相同，不同的有两点：

第一，高阶项由埃尔米特多项式变为拉盖尔多项式 $\color{red}{L_p^{|l|} (t)}$ 。且额外的因子 $\color{red}{\left(\sqrt{2}\frac{r}{w(z)}\right)^{|l|}}$ 和 $\color{red}{\exp(-\mathrm{i}l\varphi)}$ 分别表示原点处的奇点以及螺旋形的波前（带轨道角动量 $\hbar l$ ）。

第二，古伊相移 $\color{orange}{\psi(z) = (2p + |l|+ 1)\arctan \frac{z}{z_R}}$ 变为 HG 模式的 $2p + |l|+ 1$ 倍。

正如旋转可以分解为振动的线性叠加，LG 模式也可以表示为 HG 模式的相干叠加。这和圆偏振可以分解为两个线偏振的叠加类似。

三、用 Q-Plate 操控自旋角动量和轨道角动量

2006 年提出的 q-plate [4]本质上就是一个光轴与位置有关的半波片，且光轴的角度 $\alpha$ 满足 $\alpha(r,\varphi) = q \varphi + \alpha_0$ 。其琼斯矩阵为 $\begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{bmatrix}$ 。

考察一个 q-plate 作用到一个左旋偏振的基模高斯光束上，结果为：

$\begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = e^{\mathrm{i}2q\varphi} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

可见，经过 q-plate，左旋偏振光变为带 $2q\hbar$ 轨道角动量的右旋偏振光。

q-plate 是目前实验上制备 OAM 态最常用的方法。当然，用 SLM 也可以。

OAM 之所以吸引量子信息研究者的兴趣，其中一个原因是它的希尔伯特空间维数和谐振子一样是无穷大的，而不像偏振（SAM）那样只有两个。SAM 与 OAM 之间的相互作用引出了一个很直接的想法：利用 SAM 和 OAM 做一个 CNOT 门，其中 SAM 是控制比特，OAM 是目标比特。类似的实验很多，这里就不放文献了。

参考

1. Allen, L.; Beijersbergen, M. W.; Spreeuw, R. J. C.; Woerdman, J. P. Orbital Angular Momentum of Light and the Transformation of Laguerre-Gaussian Laser Modes. Phys. Rev. A 1992, 45 (11), 8185–8189. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.45.8185.
2. A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, and A. Zeilinger, “Entanglement of the orbital angular momentum states of photons,” Nature 412(6844), 313–316 (2001).
3. Padgett, M. J. Orbital Angular Momentum 25 Years on [Invited]. Opt. Express 2017, 25 (10), 11265. https://doi.org/10.1364/OE.25.011265.
4. Marrucci, L.; Manzo, C.; Paparo, D. Optical Spin-to-Orbital Angular Momentum Conversion in Inhomogeneous Anisotropic Media. Phys. Rev. Lett. 2006, 96 (16), 163905. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.163905.