李导数与协变导数有什么联系？

2024-01-26 约 2433 字预计阅读 5 分钟次阅读

一性质上的异同点

李导数 $\mathcal{L}_V$ 和协变导数 $\nabla_V$ 有很多共同点：

$\mathcal{L}_V$ 和 $\nabla_V$ 都保持张量的型号，即都是 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 到 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 的映射。 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 表示 $M$ 上全体 (p, q) 型光滑张量场的集合

特别地，对于 (0,0) 型张量场，也就是标量场 $f\in \mathcal{F}(M)$ ，有 $\mathcal{L}_V f=\nabla_V f=Vf$ 。

都满足线性和莱布尼茨律

$ \begin{aligned} \mathcal{L}_V(\mu A + \lambda B) &= \mu \mathcal{L}_V A + \lambda \mathcal{L}_V B, \\ \mathcal{L}_V (A \otimes B) &= (\mathcal{L}_V A)\otimes B + A \otimes (\mathcal{L}_V B) \end{aligned} $

$\begin{aligned} \nabla_V(\lambda A+\mu B) &= \lambda \nabla_V A + \mu \nabla_V B \\ \nabla_V(A\otimes B) &= (\nabla_V A)\otimes B + A \otimes (\nabla_V B) \end{aligned}$

都与缩并可交换

$ \mathcal{L}_V \circ C = C \circ \mathcal{L}_V $

$ \nabla_W \circ C = C \circ \nabla_W $

那它们究竟区别在哪呢？其实最重要的区别如下：

4. 协变导数有对 $V$ 的 $\mathcal{F}$-线性，而李导数只有普通的线性：

$ \nabla_{fV+gW} = f\nabla_V + g\nabla_W \quad f,g\in\mathcal{F}(M) $

$ \mathcal{L}_{\lambda V+\mu W} = \lambda \mathcal{L}_V + \mu \mathcal{L}_W \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}$

其中 $\mathcal{F}(M)$ 表示 $M$ 上全体标量场的集合。

这看起来貌似很有趣，但是它意味着什么呢？带着这个问题，我们看下一节。

二李导数和协变导数的意义

众所周知，导数就是将两点处的对象做差，再取这两点靠近时的极限。但是在流形上，我们会遇到一个问题：不同点处的切空间/余切空间是完全不同的空间，也就是说不同点处的张量根本不在同一个空间中，这样我们就没办法比较不同点处的张量（不能做差了）。

因此，为了比较两个不同的点处的张量，我们必须设法让其中一个点处的张量通过某种方式移动到另外一个点处。有两种办法进行这样的移动，第一种是“流动”，第二种是“平移”。前者对应李导数，后者对应协变导数。

2.1 流动——李导数

前置知识：拉回与推前（pull back / push forward）
假定我们有一个微分同胚： $\phi:M\rightarrow N$ 。微分几何的知识告诉我们，可以将 $N$ 上的张量场拉回（pull back）到 $M$ 上。当然，反过来也可以将 $M$ 上的张量场推前（push forward）到 $N$ 上。

$M$ 上一个光滑向量场 $V$ 的积分曲线族（例如电场的电场线）可以给出一个微分同胚

$\Phi_t:M\rightarrow M, \quad \gamma(t_0)\mapsto \gamma(t_0+t)$

这个微分同胚可以由一个实数 $t$ 来参数化。形象一点理解，就是说流形上的每一点都顺着它所在的积分曲线往下游“流动”了一段距离。于是利用拉回映射（pull back）我们又可以诱导出如下映射：

$\Phi^*_t: \mathcal{T}^p_q(M) \rightarrow \mathcal{T}^p_q(M)$

这就给出了“将一个点处的张量通过某种方式移动到另外一个点处”的方法：

先让点 $P$ 随着积分曲线往下游“流动”一段距离到点 $Q$ 处，即 $\Phi_t (P) =Q$ ，
再将点 $Q$ 处的张量通过 $\Phi^*_t$ 拉回到点 $P$ 处。

即给出了一种将点 $Q$ 处的张量移动到点 $P$ 处的办法。

于是我们就可以定义李导数了：

$ \begin{aligned} \mathcal{L}_V A &:= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} (\Phi^*_t A) \\ &= \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\Phi^*_\epsilon A - A}{\epsilon} \end{aligned} $

它的想法是：先让一个点往下游方向流动一小段距离，再把该点处的张量拉回到原来的地方，与原来的点处的张量作比较。如果结果相同，则导数为零，否则导数不为零。

注：其实把 $\Phi^*_t$ 写成 $(\Phi^{V}_t)^*$ 会明确一点，即明确了 $\Phi^*_t$ 是关于 $V$ 的，但是这样写太丑陋了。

2.2 平移——协变导数

李导数的“将一点处的张量移动到另一点”的方法总还是让人感觉有些别扭。这是因为，为了将点 $Q$ 处的向量通过某一条路径移动到点 $P$ ，我们需要找到这样一个向量场，使得它有一条积分曲线与该路径重合。这并总不是很方便。

更致命的是，即使两个不同的向量场有一条完全重合的积分曲线——即便如此，移动的结果也不一定是相同的。

即，$(\Phi^{V}_{Q\rightarrow P})^*$ 与 $(\Phi^{W}_{Q\rightarrow P})^*$ 一般是不同的，即使路径完全相同。

换句话说，某点的关于向量场 V 的李导数依赖于 V 在该点邻域的性质。这就是我们为什么说“协变导数有对 $V$ 的 $\mathcal{F}$-线性，而李导数没有”。

于是，我们更希望有这样一种办法，使得我们可以直接任意地移动张量，而不需要像李导数那样先找到一条积分曲线。在这种办法中，我们才是规则的制定者——也就是说张量移动的规则由我们来决定，并不需要借助任何向量场的局部结构来完成。

给定了局部坐标系后，这样的一种人为规则可以由一组数据来刻画，这组数据就是克氏符号 $\Gamma^i_{jk}$ ：

$\nabla_{k} e_j =: \Gamma^i_{jk}e_i, \quad \nabla_i := \nabla_{e_i}$

$\Gamma^i_{jk}$ 三个下标意思分别是：$k$ 代表沿第 $k$ 个基的方向移动，$j$ 表示我们在考虑第 $j$ 个基的变化，$i$ 代表变化量在第 $i$ 个基上的分量。

然而，这样一组数据实在是太任意了：对于一个 $n$ 维流形，我们需要给定 $n^3$ 个数，才能将克氏符号确定下来。
为了确定起见，我们可以借助流形上的额外结构——度规。我们希望协变导数是保度规的，即满足 $ \nabla_k g_{ij}=0 $ ，这可以给出 $n^2(n+1)/2$ 个约束，还剩下 $n^3-n^2(n+1)/2=n^2(n-1)/2$ 个自由度。
我们还可以通过要求协变导数无挠，来给出剩下 $n^2(n-1)/2$ 个约束，从而消除了任意性，得到了一个唯一的联络。这就是 Riemann / Levi-Citiva 联络。

这样一来，我们可以利用协变导数为零，反过来定义“平移”。

正因为平移的规则是人为指定，所以协变导数不依赖向量场的邻域，因而协变导数有对 $V$ 的 $\mathcal{F}$-线性。

2.3 回到李导数

当然，这不是说李导数一无是处。李导数的意义并不在于用来移动张量，而是在于刻画“流”的性质。例如，可以用李导数对单位体积形式的作用来定义散度：

$\begin{aligned} \mathcal{L}_V \omega_g =: (\operatorname{div} V)\omega_g \end{aligned}$

几何意义也很明显：如果我们让流形上的一小块体积随着向量场的积分曲线流动一小段距离，这一小块体积的缩放比率就是向量场在该点处的散度。

李导数使得对很多概念的定义都有了一套更优雅的语言。如果散度不用李导数来定义，那么就只能定义成 $\operatorname{div} V = \star_g \mathrm{d} \star_g \flat_g V$ ，涉及了升降算子、霍奇星算子、外微分算子，乍一看不知是什么不可名状之物。

另外，挠率，曲率等等都可以借助李导数来给出漂亮的（且不依赖于局部坐标系的）定义，已有的答案都有提到，本文就不赘述了。

而且，从名字中也可以看出来，李导数与李群李代数有很深的联系。李导数可以用来证明左不变向量场的李括号也是左不变向量场，从而能够诱导出切空间上的李括号，让切空间成为一个李代数。

三显式公式

最后我们来对比一下李导数和协变导数的显式公式吧：

李导数：
$ \begin{aligned} (\mathcal{L}_V A)^{i…j}_{k…l} &= V^m A^{i…j}_{k…l,m} + \\ &+ V^m_{,k} A^{i…j}_{m…l} + \cdots + V^m_{,l} A^{i…j}_{k…m} \\ &- V^i_{,m}A^{m…j}_{k…l} + \cdots - V^j_{,m} A^{i…m}_{k…l} \end{aligned} $
协变导数：
$ \begin{aligned} (\nabla_V A)^{i…j}_{k…l} & = V^{m} A^{i…j}_{k…l,m} \\ & - \Gamma^{n}_{km} V^{m} A^{i…j}_{n…l} - \cdots - \Gamma^{n}_{lm} V^m A^{i…j}_{k…n} \\ & + \Gamma^{i}_{nm} V^{m} A^{n…j}_{k…l} + \cdots + \Gamma^{j}_{nm} V^m A^{i…n}_{k…l} \end{aligned} $
式中逗号加下标表示求偏导，即 $A_{,k}:=\frac{\partial}{\partial k}A$ 。

从公式中也可以看出来，某点处的李导数 $\mathcal{L}_V$ 是依赖于 $V$ 在该点的邻域的性质的，因为它涉及向量场的分量的偏导 $V^m_{,k}$ 。

而在协变导数中，只出现了向量场分量本身 $V^m$ ，不涉及分量的偏导 $V^m_{,k}$ ，也就是说协变导数不依赖于邻域。这就是为什么协变导数拥有 $\mathcal{F}$-线性，而李导数没有。

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