【量光实验杂谈·二】HBT实验测量SPDC多模压缩态的频谱关联与纯度

上篇我们说了在 HBT 实验中，用非光子数分辨的单光子探测器测量量子二阶关联函数的原理。

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这篇我们来看看量子二阶关联函数有什么用。除了老生常谈的用来区分【超泊松统计/泊松统计/亚泊松统计】以及区分【光子集聚/反集聚】以外，HBT 实验还可以用来测量多模压缩态的频谱纯度。

SPDC 产生多模压缩态

SPDC（Spontaneous Parametric Down-Conversion，自发参量下转换）是一种实验上用来产生关联光子对的方法。 将一束激光打到非线性晶体上，如果满足相位匹配条件，则会发生自发参量下转换过程。在这个过程中，一个泵浦光子被转化为两个频率相等的光子，分别称为信号光子（signal photon）和闲频光子（idler photon），且满足能量守恒和动量守恒。其哈密顿量如下：

$H = i\hbar g,a^\dag_s a^\dag_i a_p + h.c.$

其中 $g$ 代表作用强度。

当泵浦光很强，以至于其强度几乎不会被损耗的时候，我们可以只关注信号光子和闲频光子的子希尔伯特空间。此时哈密顿量为：

$H = i\hbar g \alpha_p ,a^\dag_s a^\dag_i + h.c.$

不失一般性，令 $\alpha_p$ 为实数，且令 $\chi=g\alpha_p$ ，则有

$H = i\hbar \chi (a^\dag_s a^\dag_i - a_sa_i)$

实际上，由于泵浦作用的空间有限，动量会具有不确定性，在频谱上表现为具有一定线宽。此时哈密顿量如下：

$\begin{aligned} H=i\hbar \chi \int d\omega_s d\omega_i [f(\omega_s,\omega_i) a_s^\dag(\omega_s) a_i^\dag(\omega_i) -f^*(\omega_s,\omega_i) a_s(\omega_s) a_i(\omega_i)] \end{aligned}$

现在我们用 $L^2(\mathbb{R^2})$ 的一组正交基函数（例如 Hermite 函数） ${\varphi_k}_{k\in \mathbb{N}}$ 将 $f(\omega_s,\omega_i)$ 展开：

$\begin{aligned} f(\omega_s,\omega_i)=\sum_{k,l} C_{kl}\varphi_k(\omega_s)\varphi_l(\omega_i) \end{aligned}$

并且记 $a_k^\dag = \int d\omega_s ,\varphi_k(\omega_s)a_s^\dag(\omega_s),\quad b_k^\dag = \int d\omega_i ,\varphi_k(\omega_i) a_i^\dag(\omega_i)$ ，则有

$\begin{aligned} H=i\hbar \chi \sum_{k,l}\left( C_{kl}a^\dag_k b^\dag_l - C^*_{kl} a_kb_l\right) \end{aligned}$

对其进行施密特分解（奇异值分解），得

$\begin{aligned} H=i\hbar \chi \sum_{k}\left( \lambda_k A^\dag_k B^\dag_k - \lambda_k A_k B_k\right) \end{aligned}$

其中 $\sum_k\lambda^2_k=1$ 。

注意：由于奇异值分解的谱总是非负实数，所以 $\lambda_k$ 是实数且大于零。

这其实就是多模压缩态的哈密顿量。

复习一下各种压缩态：
单模压缩态： $\begin{aligned} H=i\hbar\left(g^*\frac{a^2}{2}-g\frac{a^{\dag2}}{2}\right) \end{aligned}$
双模压缩态： $\begin{aligned} H=i\hbar\left(g^*a b-g a^\dag b^\dag\right) \end{aligned}$
多模压缩态： $\begin{aligned} H=i\hbar\sum_{k}\left(g_k^*a_k b_k-g_k a_k^\dag b_k^\dag\right) \end{aligned}$

现在我们分别来看看薛定谔绘景与海森堡绘景下的系统演化。

在薛定谔绘景下，

$\begin{aligned} |\Psi_{\text{out}}\rangle &=e^{\frac{H\tau}{i\hbar}}|\Psi_{\text{in}}\rangle \\ &= \sum_{k} \frac{1}{\cosh(r_k)}\sum_{n=0}^{\infty}\tanh^n(r_k)|n_k,n_k\rangle \end{aligned}$

其中 $r_k=\chi \tau \lambda_k$ 。注意到它拥有热光场的形式。

当 $r_k$ 很小时，有

$|\Psi_{\text{out}}\rangle\approx \sum_{k} \left(|0_k,0_k\rangle + r_k|1_k,1_k\rangle\right)$

这也是大多数实验所符合的情况。
在探测到光子的前提下，条件量子态（Conditional State）为 $|\Psi_\text{conditional}\rangle=\sum_k\lambda_k|1_k,1_k\rangle$ 。这就是预报式单光子源的原理。

在海森堡绘景下，

$\begin{aligned} A_k &\rightarrow e^{\frac{H\tau}{i\hbar}} A_k e^{-\frac{H\tau}{i\hbar}} \\ &= A_k + [e^{\frac{H\tau}{i\hbar}},A_k]+[e^{\frac{H\tau}{i\hbar}},[e^{\frac{H\tau}{i\hbar}},A_k]] + \cdots \\ &=\cosh(r_k) A_k - \sinh(r_k)B_k^\dag \end{aligned}$

$\begin{aligned} B_k &\rightarrow e^{\frac{H\tau}{i\hbar}} B_k e^{-\frac{H\tau}{i\hbar}} \\ &= B_k + [e^{\frac{H\tau}{i\hbar}},B_k]+[e^{\frac{H\tau}{i\hbar}},[e^{\frac{H\tau}{i\hbar}},B_k]] + \cdots \\ &=\cosh(r_k) B_k - \sinh(r_k)A_k^\dag \end{aligned}$

其中 $r_k=\chi \tau \lambda_k$ 。

如何刻画频谱关联？

频谱关联指的是信号光子和闲频光子的频谱之间的关联。一个无关联的联合频谱可以写成两个光子各自频谱的乘积： $f(\omega_s,\omega_i)=\phi(\omega_s)\psi(\omega_i)$ 。如果不能写成这个形式，就意味着有频谱关联。

具体如何刻画频谱关联呢？我们可以用施密特数来刻画频谱的关联程度，其定义如下：

$\begin{aligned} K= \frac{1}{\sum_k\lambda^4_k} \end{aligned}$

例
对于无关联的联合频谱，有 ${\lambda_k}={1}$ ， $K=1$ 。
对于有两个模式，且系数相等的联合频谱，有 ${\lambda_k}={\frac{1}{2},\frac{1}{2}}$ ， $K=2$ 。
对于有 n 个模式，且系数相等的联合频谱，有 $K=n$ 。
对于有 n 个模式，且系数彼此不完全相等的联合频谱，有 $1<K<n$ 。

为什么我们会关心频谱关联？这是因为它和光子的纯度有密切的关系：

性质
在 $r_k$ 很小，且探测到光子的前提下，量子态为 $|\Psi_\text{conditional}\rangle=\sum_k\lambda_k|1_k,1_k\rangle$ 。
对于该量子态，将两个光子中的其中一个 trace 掉（做偏迹运算），剩下光子的量子态的纯度为 $P=\frac{1}{K}$ 。这是因为：
$\begin{aligned} P &= \operatorname{tr}[\operatorname{tr}_2[|\psi\rangle\langle\psi|]^2] \\ &= \operatorname{tr}\left[\operatorname{tr}_B\left(\sum_{k}\lambda_k \left| 1_k, 1_k\right\rangle\sum_{l}\lambda_l \left\langle 1_l ,1_l\right|\right)^2\right] \\ &= \operatorname{tr}\left[\left(\sum_{k}\lambda_k^2 \left|1_k \right\rangle\left\langle 1_k\right|\right)^2\right] \\ &= \operatorname{tr}\left[\sum_{k}\left(\lambda_k^2\left| 1_k \right\rangle\left\langle 1_k\right|\right)^2\right] \\ &= \operatorname{tr}\left[\sum_{k}\lambda_k^4 |1_k\rangle\langle 1_k|\right] \\ &=\sum_{k}\lambda_k^4=\frac{1}{K} \end{aligned}$

可见，纯度与施密特数呈反比关系。也就是说，频谱关联越强，光子在频域上的纯度越低。这对预报式单光子源以及各种多光子干涉实验是不利的。对于前者，频谱关联会降低单光子的频域全同性，对于后者，频谱关联会降低干涉对比度。

用 HBT 实验测量频谱关联

在上一篇中，我们说到 HBT 实验探测的是：

$\begin{aligned} \frac{C_{12}R}{S_1S_2}=\frac{\langle n(n-1)\rangle}{\langle n\rangle^2} \end{aligned}$

其中 $C_{12}$ 是两个探测器的符合计数率， $S_1$ 和 $S_2$ 分别是第一个和第二个探测器的计数率， $R$ 是光子通量。

当各个模式的频率相同或相近时，有 $\begin{aligned} \frac{\langle n(n-1)\rangle}{\langle n\rangle^2} \approx g^{(2)}(0) \end{aligned}$ 。

我们之所以说用 HBT 实验可以测量频谱关联，是因为 $\begin{aligned} \frac{\langle n(n-1)\rangle}{\langle n\rangle^2} = 1+\frac{1}{K} \end{aligned}$ 。证明如下：

$\begin{aligned} \frac{\langle n(n-1)\rangle}{\langle n\rangle^2} &=\frac{\langle n^2\rangle-\langle n\rangle}{\langle n\rangle^2} \\ &=\frac{\sum_{k} \langle n_k^2 \rangle + 2\sum_{i>j} \langle n_i n_j \rangle - \langle n\rangle}{\langle n\rangle^2} \\ &= \frac{ \sum_{k} \left(\langle n_k \rangle + 2\langle n_k\rangle^2 \right) + 2\sum_{i>j} \langle n_i \rangle \langle n_j \rangle - \langle n\rangle}{\langle n\rangle^2} \\ &= \frac{\langle n\rangle + \langle n\rangle^2 +\sum_{k} \langle n_k\rangle^2 - \langle n\rangle}{\langle n\rangle^2} \\ &= 1+\frac{\sum_{k} \langle n_k\rangle^2}{ \left\langle \sum_{k} n_k\right\rangle^2} \\ &= 1 + \frac{\sum_k \sinh^4(r_k)}{\left(\sum_k \sinh^2(r_k)\right)^2} \\ &\approx 1+\frac{\sum_k r_k^4}{\left(\sum_k r_k^2\right)^2} \\ &= 1 + \frac{\sum_k \lambda_k^4}{\left(\sum_k \lambda_k^2\right)^2} \\ &= 1+\sum_k \lambda_k^4 \\ &= 1+\frac{1}{K} \\ &= 1+P \end{aligned}$

其中第三个等号用到了结论：对于热光场有 $ \langle n_k^2 \rangle =\langle n_k \rangle + 2\langle n_k\rangle^2$ ，且各个模式之间没有关联 $\langle n_i n_j\rangle=\langle n_i\rangle\langle n_j\rangle$ 。

第六个等号是因为在海森堡绘景下有：

$\begin{aligned} \langle n_k\rangle&=\langle 0|A_k^\dag A_k|0\rangle \\ &\rightarrow\langle 0| (\cosh(r_k) A_k^\dag - \sinh(r_k)B_k)(\cosh(r_k) A_k - \sinh(r_k)B_k^\dag)|0\rangle \\ &= \sinh^2(r_k) \end{aligned}$

结论

借助 HBT 实验，我们就能测量频谱关联和纯度，这不得不说是一件很神奇的事情。因为普通的方法需要用到 tunable filter 来测 JSI（Joint Spectral Intensity），再根据 JSI 计算频谱关联和纯度。而 HBT 实验甚至连 filter 都不需要，可见 HBT 实验的优越性。

注

关于以上推导我能找到最早的文献是 [1]，但是文献 [1] 中跳了太多步骤，中间的逻辑链是我自己一点一点补上的。

利用 HBT 实验测频谱关联的文献见 [2] 和 [3]，它们引用的都是文献 [1]。

参考文献

[1] Christ, A., Laiho, K., Eckstein, A., Cassemiro, K. N. & Silberhorn, C. Probing multimode squeezing with correlation functions. New J. Phys. 13, 033027 (2011).

[2] Faruque, I. I. et al. Estimating the Indistinguishability of Heralded Single Photons Using Second-Order Correlation. Phys. Rev. Applied 12, 054029 (2019).

[3] Paesani, S. et al. Near-ideal spontaneous photon sources in silicon quantum photonics. Nat Commun 11, 2505 (2020).