【量光实验杂谈·一】非光子数分辨探测器测二阶关联函数（g2）的原理

HBT 实验

做量光实验的小伙伴一定知道 HBT 实验可以用来测二阶关联函数 g2，即将一束光用 50:50 的分束器分成两束，再分别用两个探测器探测，并统计两边光强的关联随延迟的变化，如下图所示：

经典 normalized g2 的定义为

$\begin{aligned} g^{(2)}(r_1,r_2;\tau)&=\frac{\langle E^*(r_1,t)E^*(r_2,t+\tau) E(r_2,t+\tau)E(r_1,t)\rangle}{\langle |E(r_1,t)|^2\rangle\langle |E(r_2,t+\tau)|^2\rangle} \\ &= \frac{\langle I(r_1,t)I(r_2,t+\tau)\rangle}{\langle I(r_1,t)\rangle\langle I(r_2,t+\tau)\rangle} \end{aligned}$

其中 $E$ 代表电场， $I$ 代表光强。可见，根据定义，HBT 实验测量的就是经典 g2（将关联光强除以两边各自的光强的乘积即可）。

量子二阶光联函数

量子 normalized g2 的定义为：

$\begin{aligned} g^{(2)}(r_1,r_2;\tau)&=\frac{\langle E^-(r_1,t)E^-(r_2,t+\tau) E^+(r_2,t+\tau)E^+(r_1,t)\rangle}{\langle E^-(r_1,t)E^+(r_1,t)\rangle\langle E^-(r_2,t+\tau)E^+(r_2,t+\tau)\rangle} \end{aligned}$

Comment：对于量子情况，分子里的算符要换成电场的 Counter-rotating Term $E^-$ 和 Co-rotating Term $E^+$ ，它们分别含有产生和湮灭算符。
而且，产生算符一定要在湮灭算符前面，因为一个光子被探测是一个湮灭的过程，这和经典情况不同。经典情况的相干态 $|\alpha\rangle$ 是湮灭算符的本征态 $a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$ ，多一个光子少一个光子没有什么区别。

在单模的情况下，由于 $E^+=i\sqrt{\frac{\hbar \omega}{2\epsilon_0 V}}a$ ， $E^-=i\sqrt{\frac{\hbar \omega}{2\epsilon_0 V}}a^\dag$ ，于是量子 g2 可以化简为

$\begin{aligned} g^{(2)}(r_1,r_2,\tau)&=\frac{\langle a^\dag(r_1,t)a^\dag(r_2,t+\tau)a(r_2,t+\tau)a(r_1,t)\rangle}{\langle n(r_1,t)\rangle\langle n(r_2,t+\tau) \rangle} \end{aligned}$

于是，为了测量子 g2，我们要把光强探测器换成光子探测器，并且这个光子探测器可以分辨光子数。

然而问题来了，目前可以分辨光子数的单光子探测器都不太行：TES 回复时间太长；空间和时间上 Demultiplex 的方案只是伪光子数分辨；而 SNSPD 又很昂贵，需要低温，且多光子效率也未必很高。

NPNR-SPD 测 g2

幸运的是，不能分辨光子数的单光子探测器（NPNR-SPD，Non-Photon-Number-Resolving Single-Photon-Detectors）也可以测 g2，即使它们不能分辨光子数！

Comment：所谓“不能分辨光子数”的意思，就是它们只能区分“没有光子”和“有一个或多个光子”两种情况。常见的 APD 探测器就不能分辨光子数。

方法很简单：只要让 NPNR-SPD 的量子效率足够低就可以！

所谓量子效率 $\eta$ ，就是在有一个光子进入探测器的前提下，探测器能探测到这个光子的概率。反过来，这个光子被“损耗”掉的概率就是 $1-\eta$ 。

一开始我觉得很奇怪，怎么会效率越低越好呢？但是只要稍微想一想，就能明白其中原理：

当效率足够低的时候， $k$ 个光子没有全部被损耗掉的概率是 $1-(1-\eta)^k\approx k\eta$ ，也就是说 NPNR-SPD 探测到光子的概率正比于 $k$ 。这样，我们就通过“低效率”变相实现了“光子数分辨”。

下面是正式（无聊）的数学推导，可以跳过：
设探测器 1 的计数率为 $S_1$ ，探测器 2 的计数率为 $S_2$ ，两个探测器的符合（同时探测到光子的）计数率为 $C_{12}$ ，单位时间内光束里的光子数为 $R$ ，则有：
$\begin{aligned} S_i &=R\sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_n}{2^n}\sum_{k=1}^{n}C_n^k[1-(1-\eta)^k] \\ &\approx R \sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_n}{2^n}\sum_{k=1}^{n}C_n^k\cdot k\eta \\ &= R\frac{\eta}{2} \sum_{n=1}^{\infty} n P_n \end{aligned}$
$\begin{aligned} C_{12}&=R\sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_n}{2^n}\sum_{k=1}^{n-1} C_n^k[1-(1-\eta)^k][1-(1-\eta)^{(n-k)}] \\ &\approx R \sum_{n=1}^{\infty}\frac{P_n}{2^n}\sum_{k=1}^{n}C_n^k\cdot k\eta \cdot (n-k)\eta \\ &= R \frac{\eta^2}{4} \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)P_n \end{aligned}$
于是
$\begin{aligned} \frac{C_{12} R}{S_1 S_2} &= \frac{\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)P_n }{\left(\sum_{n=1}^{\infty} n P_n\right)^2} \\ &= \frac{\langle n(n-1) \rangle}{\langle n\rangle^2} \end{aligned}$
熟悉量子光学的人应该已经看出这就是 g2 了。推导如下：
$\begin{aligned} g^{(2)}(r_1,r_2,\tau)&=\frac{\langle a^\dag(r_1,0)a^\dag(r_2,\tau)a(r_2,\tau)a(r_1,0)\rangle}{\langle n(r_1)\rangle\langle n(r_2) \rangle} \end{aligned}$
令 $r_1=r_2,\quad \tau=0$ 得
$\begin{aligned} g^{(2)}(\tau=0)&=\frac{\langle a^\dag a^\dag a a \rangle}{\langle n\rangle^2} \\ &= \frac{\langle a^\dag(aa^\dag -1) a\rangle}{\langle n\rangle^2} \\ &= \frac{\langle n^2-n\rangle}{\langle n\rangle^2} \end{aligned}$

测 g2 有什么用呢？除了教科书里常见的区分【超泊松统计/泊松统计/亚泊松统计】以及区分【光子集聚/反集聚】以外，还有一个意想不到的作用：测量光子的频谱关联。下篇我们就来讨论这一点。

尾声：多模情况

前面我们埋下了一个小伏笔：我们假设了被探测光是单模的。于是 $E^+$ 可以正比于 $a$ ： $E^+=i\sqrt{\frac{\hbar \omega}{2\epsilon_0 V}}a$ 。

但如果被探测光是多模的会如何？此时 $E^+=i\sum_{k}\sqrt{\frac{\hbar \omega_k}{2\epsilon_0 V}}a_k$ ，$E^+$ 不再正比于 $a$ 了，而是有一个频率依赖： $E^+_k\propto \sqrt{\omega_k}a_k$ 。

由于原本的 g2 探测的是光强，而光强等于 频率乘以光子数，因此这里有一项 $\sqrt{\omega_k}$ 是不奇怪的。

不过只要各个模式的频率相同，我们还是可以约掉 $\sqrt{\omega_k}$ ，得到:

$\begin{aligned} g^{(2)}(0)=\frac{\left\langle :\left(\sum_k a^\dag_k a_k\right)^2:\right\rangle}{\left\langle \sum_k a^\dag_k a_k\right\rangle^2} \end{aligned}$

其中 $::$ 代表正规排序，即将所有产生算符都移到湮灭算符的前面。

令 $n=\sum_ka^\dag_k a_k$ ，有

$\begin{aligned} g^{(2)}(0)=\frac{\langle n(n-1)\rangle}{\langle n\rangle^2} \end{aligned}$

可见，虽然有多个模式存在，但如果这些模式的频率（近似）相同，那么 HBT 实验测量量子 g2 的方法仍然是有效的。