自旋为什么不是相对论效应

结论：整数自旋是经典效应，而半整数自旋是量子效应，跟相对论关系不大。

原因很简单：1-自旋是 SO(3) 的最小的忠实（faithful）表示，而 1/2-自旋是 SU(2) 的最小的忠实表示。

那为什么量子力学能将 SO(3) 提升为 SU(2) 呢？因为量子态都是射线（rays），在相差一个全局相位的意义上等价。也就是说，量子力学要求的是 SO(3) 的投影（projective）表示。而 SO(3) 的投影表示与 SU(2) 的表示是一一对应的（Bargmann 定理）。这就是为什么量子力学考虑的是 SU(2) 而不是 SO(3)。

用更简单的话来说，量子力学对于全局相位是不敏感的，因此旋转 360 度之后可以相差一个相位，对于 1/2-自旋，这个相位就是 pi。

那肯定有人要问了，为什么只能是 $\pi$，不能是 $\pi/2$？那样我们不就有 1/4-自旋了吗？问得好。这是三维空间的限制。在二维空间（SO(2)）则不存在这种限制，允许任意自旋。这就是所谓的任意子（anyons），是拓扑量子计算的基础。

至于相对论，个人看法是跟半整数自旋没有半毛钱关系。因为非相对论量子力学同样允许半整数自旋。

有人可能说狄拉克方程预言了 1/2-自旋，所以半整数自旋是相对论效应。但是预言 1/2-自旋的并不是只有狄拉克方程，甚至它也不是第一个。早在狄拉克方程之前，半整数自旋就有很多证据：Stern-Gerlach 实验，Zeeman 效应等等… 理论方面，泡利方程也可以完美描述非相对论的 1/2-自旋。

有人说整数自旋也是量子的。这看你怎么定义自旋了。个人理解是对于一个纯经典的场，比如电磁场 $A_{\mu}$，我们同样可以讨论自旋。当然，如果你量子化了，场可以激发出粒子，那整数自旋无疑也有量子性，但这种量子性早就蕴含在了你的前提中，相当于一句重言式的废话。

还有人说非相对论量子力学只是允许 1/2-自旋的存在，而相对论量子力学是要求 1/2-自旋必然存在。原因还是经典的那一套：如果我们要求场方程是一阶的，那么就会得到狄拉克方程，而狄拉克方程要求 1/2-自旋。

这也是个著名谣传了。实际上，只要将狄拉克方程的 gamma 矩阵所满足的代数改一下，就能得到描述 0-自旋和 1-自旋的一阶的 DKP 方程。

再说了，狄拉克的动机是：薛定谔方程中空间部分是二阶，时间部分是一阶，两个不一样，所以把空间部分改成一阶。那我把时间部分也改成二阶也完全可以，得到的就是描述 0 和 1 自旋的 Klein-Gordan 和 Proca 方程。反正二阶方程总是可以被一阶化的，而一阶化之后就是 DKP。

有人可能以为相对论量子力学（也就是量子场论）全都是狄拉克方程。实际上量子场论用 KG/Proca/Maxwell 和用 Dirac 用的一样多。Dirac 方程通常先讲只是因为电子很重要，且 Dirac + Maxwell 就足够描述量子电动力学。

如果世界上没有 1/2-自旋的粒子，那么相对论量子力学与非相对论量子力学一样，依然能够自洽，无非是改一改拉格朗日量的事情，反正标准模型的拉氏量已经是一坨了。并不是说数学上预言了就一定存在，数学上预言但不存在的东西多了去了，数学上自洽但不描述现实世界的模型也多了去了。物理是一门实验学科。

一句话的事情：相对论量子力学的 DKP 方程（和 Dirac 方程一样是一阶并且满足质能关系）可以描述无自旋粒子，所以相对论量子力学并不必然要求自旋存在。

这里的“必然”是什么意思？意思就是说如果不存在自旋，那么相对论量子力学就会崩塌。显然实际情况并非如此。