规范场的联络 vs 广义相对论的联络【更高更妙的电动力学·番外篇 1】
Haifei在前面的文章中，我们说电磁场是联络。这让很多同学想到广义相对论里的联络。这两种联络有什么区别和共同点？
电磁场联络 \(A\) 是主丛上的联络，而广义相对论联络 \(\Gamma\) 是矢量丛上的联络，它们的定义方式看似很不同。有没有办法将它们联系起来呢？
答案是：有办法！我们完全可以将广相的联络也看成是主丛上的联络。这样一来，两种联络就统一为同一种数学对象了。
实际上，可以把 \(\Gamma\) 看成标架丛（一种主丛）上的联络，这样一来，克氏符的变换规则
\[\boxed{ \begin{aligned} \bar{\Gamma}^i_{\mu j} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\mu} \Gamma^k_{\nu l} \color{red}{ + \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial^2 x^k}{\partial x^\mu \partial \bar{x}^j}} \end{aligned} }\]就只不过是一个规范变换：
\[\boxed{ \bar{A} = g^{-1}A g \color{red}{+ g^{-1} \mathrm{d}g} }\]多出来的非齐次项 \( g^{-1} \mathrm{d}g\) 是规范变换天生自带的。
另外，前文说到，非阿贝尔规范场的曲率为 \(\boxed{ F=\mathrm{d} A + A \wedge A }\) 。这个多出来的 \(A \wedge A \) 是从哪来的？看完本文，你也会知道答案。
一、规范变换
在主丛上做规范变换 \(g\) 的时候，联络 \(A\) 的变换式如下：
\[A \mapsto g^{-1}A g \color{red}{+ g^{-1} \mathrm{d}g}\]至于这个式子是怎么来的，我们会在第五节介绍。
举个例子，最简单的规范变换就是 \(U(1)\) -纤维丛上的规范变换 \(g=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda}\) ：
\[\begin{aligned} A &\mapsto g^{-1}A g \color{red}{+ g^{-1} \mathrm{d}g} \\ &= \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda} A \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda} \color{red}{+ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda}\mathrm{d} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda}} \\ &= A \color{red}{+\mathrm{i}\ \mathrm{d}\lambda} \end{aligned}\]在物理中，通常将虚数单位 \(\mathrm{i}\) 从联络 \(A\) 中提取出来。所以上式在物理中写成：
\[A \mapsto A \color{red}{+ \mathrm{d}\lambda}\]记 \(A^\sharp=(\phi,\mathbf{A})\) 并采用 \((+,-,-,-)\) 度规，那么上式就是：
\[\boxed{ \begin{aligned} \phi &\mapsto \phi \color{red}{+ \partial_t \lambda} \\ \mathbf{A} &\mapsto \mathbf{A} \color{red}{- \nabla \lambda} \end{aligned} }\]这就是电磁规范变换。注意此处的 \(\nabla\) 代表梯度，而非协变导数。
以上的 \(A\) 是一个李代数取值的 1-形式： \(A\in \Omega^1(M, \mathfrak{u}(1))\) ，意思就是它接受一个切向量，返回一个 \(\mathfrak{u}(1) \cong \mathrm{i}\mathbb{R}\) 中的元素。
如果把 \(\mathrm{i}\) 提取出来，那么就和普通的实数取值的 1-形式没有任何区别了。
我们之所以认为电磁势 \(A\) 是向量场，原因就在于此。
同样的事情也发生在克氏符身上。
二、标架丛上的联络
现在，我们把电磁规范变换照搬到克氏符的情况。唯一的区别就是把 \(U(1)\) -主丛换成标架丛 \(FM\) ，也就是 \(GL(n)\) -主丛。
标架（frame）定义为基向量的有序组 \(f:=(e_1, e_2, ...,e_n)\) 。标架之间的变换用 \(GL(n)\) 来描述，并且 \(GL(n)\) 的群作用是自由且传递的，因此标架丛是一个 \(GL(n)\) -主丛。
此时的联络 \(\Gamma\) 是一个主丛上的李代数取值的 1-形式：
\[\Gamma_{\text{global}} \in \Omega^1(FM, \mathfrak{gl}(n))\]选取一组局部标架 \(s\) ，可以将其局部平凡化为 \(\Gamma = s^*\Gamma_{\text{global}} \in \Omega^1(M, \mathfrak{gl}(n))\) 。
它的取值作为李代数 \(\mathfrak{gl}(n)\) 的元素，可以作用到标架 \(f \) 上得到 \(\Gamma f \) ，表示标架的无穷小 \(GL(n)\) 变换。
注意这里的 1-形式 \(\Gamma\) 还没有接受一个向量。严谨一些的话，应该把待接受的向量作为空位写出来，就是：
\[\Gamma(\cdot) f \]也可以把接受的向量 \(X\) 写成 \(\Gamma\) 的下标 \(\Gamma_X\) ：
\[\Gamma_X f := \Gamma(X)f \]这样写出来就很清晰了： \(\Gamma\) 是李代数取值的 1-形式，它作用到向量 \(X\) 上得到李代数的元素 \(\Gamma_X \in \mathfrak{gl}(n)\) ，而它可以进一步作用到 \(f\) 身上得到 \(\Gamma_X f\) 。
到此为止，没有任何问题， \(\Gamma\) 是一个 1-形式，也就是一个 (0,1)-型张量，只不过它作用到向量后的取值是 \(\mathfrak{gl}(n)\) 里的一个矩阵。
那为什么人们总说克氏符 \(\Gamma_{\mu i}^j\) 不是张量呢？问题出在哪？问题出在我们把它写成指标形式的时候，没有区分 \(\Gamma\) 作为 1-形式的作用，和 \(\Gamma\) 作为李代数的作用。
作为 1-形式时， \(\Gamma\) 可以展开写成：
\[\Gamma =\Gamma_\mu\mathrm{d}x^\mu\]其中 \(\Gamma_\mu\) 是李代数 \(\mathfrak{gl}(n)\) 中的元素。这里我们说 \(\Gamma\) 是 (0,1)-型张量，没有任何问题。而 \(\Gamma_\mu\) 作为分量也的确是按照 (0,1)-型张量场的分量变换规则来变换的。
但如果我们要把 \(\Gamma_\mu \in \mathfrak{gl}(n)\) 在局部标架下进一步展开呢？此时有
\[\Gamma_\mu = (\Gamma_\mu)_{j}^i\partial_i \otimes \mathrm{d}x^j = :\Gamma_{\mu j}^i \partial_i \otimes \mathrm{d}x^j\]此时如果我们写下 \(\Gamma^i_j := (\Gamma_\mu)^i_j \mathrm{d}x^\mu\) ，那么这个 \(\Gamma^i_j\) 就不是李代数取值的 1-形式了，而是实数取值的 1-形式，相当于我们把 \(\Gamma\) 的 \(\mathfrak{gl}(n)\) 取值的每一个矩阵元 \(\Gamma^i_j\) 拿出来作为 1-形式。
问题就出在这里： \(\Gamma^i_j\) 虽然有上下标，但它本身就是一个 1-形式，而不是任何张量场的分量。而 \(\Gamma^i_j\) 作为 1-形式的定义是依赖于坐标系（ \(\partial_i \otimes \mathrm{d}x^j\) ）的选取的。之所以有些人说它是坐标系依赖的张量场，原因就在于此了。
三、标架丛上的规范变换
最后，我们从规范变换
\[\bar{A} = g^{-1}A g \color{red}{+ g^{-1} \mathrm{d}g}\]导出克氏符的变换规则:
\[\begin{aligned} \bar{\Gamma}^i_{\mu j} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\mu} \Gamma^k_{\nu l} \color{red}{ + \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial^2 x^k}{\partial x^\mu \partial \bar{x}^j}} \end{aligned} \]注意这里的 \(g\) 不是指度规张量，而是规范变换。
首先，让我们把 \(A\) 换成 \(\Gamma\) ：
\[\bar{\Gamma} = g^{-1} \Gamma g \color{red}{+ g^{-1} \mathrm{d}g}\]然后，将 1-形式 \(\bar{\Gamma}\) 和 \(\mathrm{d}g\) 在局部标架下展开成 \(\bar{\Gamma}_\mu \mathrm{d}\bar{x}^\mu\) 和 \((\bar{\partial}_\nu g)\mathrm{d}\bar{x}^\nu\) ：
\[\begin{aligned} \bar{\Gamma}_\mu \mathrm{d}\bar{x}^\mu &\mapsto g^{-1} (\Gamma_\nu \mathrm{d}x^\nu) g \color{red}{+ g^{-1} (\bar{\partial}_\mu g)\mathrm{d}\bar{x}^\mu} \\ &= g^\nu_\mu \ g^{-1} \left(\Gamma_\nu \mathrm{d}\bar{x}^\mu \right) g \color{red}{+ g^{-1} (\bar{\partial}_\mu g)\mathrm{d}\bar{x}^\mu} \end{aligned}\]其中 \(\bar{\partial}_\mu :=\frac{\partial}{\partial \bar{x}^\mu}\) ， \(g^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\mu}\) 。
将 \(\mathrm{d}\bar{x}^\mu\) 拿出来，得到：
\[\begin{aligned} \bar{\Gamma}_\mu &= g^\nu_\mu \ g^{-1} \left(\Gamma_\nu \right) g \color{red}{+ g^{-1} (\bar{\partial}_\mu g)} \end{aligned}\]然后，将规范变换
\[\begin{aligned} g = g^i_j \partial_i \otimes \mathrm{d}x^j= \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j} \partial_i \otimes \mathrm{d}x^j \end{aligned}\]代入，并取分量得：
\[\begin{aligned} (\bar{\Gamma}_\mu )^i_j &= g^\nu_\mu(g^{-1})^i_k \left(\Gamma_\nu \right)^k_l g^l_j \color{red}{+ (g^{-1})^i_k (\bar{\partial}_\mu g^k_l)} \end{aligned}\]最后，将规范变换的分量
\[\begin{aligned} g^i_j = \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j} ,\quad (g^{-1})^i_j = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} \end{aligned}\]代入得：
\[\begin{aligned} (\bar{\Gamma}_\mu )^i_j &= \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\mu}\frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} \left(\Gamma_\nu \right)^k_l \color{red}{+ \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial^2 x^k}{\partial \bar{x}^\mu \partial \bar{x}^j}} \end{aligned}\]记 \(\Gamma_{\mu j}^i := (\Gamma_{\mu})^{i}_{j}\) ，就得到了克氏符的变换式：
\[\boxed{ \begin{aligned} \bar{\Gamma}^i_{\mu j} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\mu} \Gamma^k_{\nu l} \color{red}{ + \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial^2 x^k}{\partial x^\mu \partial \bar{x}^j}} \end{aligned} }\]有必要记住这个式子吗？没必要，只要记住 \(\boxed{ \bar{A} = g^{-1}A g \color{red}{+ g^{-1} \mathrm{d}g} }\) 就可以了。
四、引力
特别地，时空底流形上配备了度规，此时的标架是标准正交基，因此结构群从 \(GL(4)\) 变成保度规的子群，即洛伦兹群 \(SO(1,3)\) 。于是，引力场就可以看作是洛伦兹群 \(SO(1,3)\) 的规范场[1]，正如电磁场是 \(U(1)\) 规范场，胶子场是 \(SU(3)\) 规范场，等等。
五：规范变换的推导
那么，规范变换式 \(\boxed{ \bar{A} = g^{-1}A g \color{red}{+ g^{-1} \mathrm{d}g} }\) 是怎么来的呢？它同样可以从更基本的关系中的得到。
这里说的更基本的关系就是 \(\boxed{ \mathrm{D} = \mathrm{d} + A \ \wedge }\) ，即协变外微分等于外微分加联络。
在标架丛上， \(\mathrm{D}\) 就是协变导数 \(\nabla\) 。
在规范变换 \(g\) 下，场按照 \(\bar{\psi} = g^{-1} \psi\) 变化。我们希望场的协变外微分 \(\mathrm{D} \psi = \mathrm{d} \psi + A \wedge \psi\) 也按照同样的方式变化，即：
\(\mathrm{\bar{D}}\bar{\psi} = g^{-1}(\mathrm{D}\psi )\) 。
这相当于要求 \(\boxed{ \bar{\mathrm{D}} = g^{-1} \mathrm{D} g }\) 。
将上式左边展开：
\[\begin{aligned} \mathrm{\bar{D}}\bar{\psi} &= (\mathrm{\mathrm{d}+\bar{A}}\ \wedge)(g^{-1}\psi) \\ &= \mathrm{d}(g^{-1}\psi) + \bar{A} \wedge (g^{-1}\psi) \\ &= (\mathrm{d} g^{-1})\psi + g^{-1} \mathrm{d}\psi + \bar{A}g^{-1} \wedge \psi \end{aligned}\]右边展开：
\[\begin{aligned} g^{-1}(\mathrm{D}\psi ) &= g^{-1} (\mathrm{d} + A\ \wedge )\psi\\ &= g^{-1}\mathrm{d} \psi + g^{-1} A \wedge \psi \end{aligned}\]比较两边得：
\[\bar{A}g^{-1} \wedge \psi = g^{-1} A \wedge \psi - (\mathrm{d} g^{-1} )\psi\]将 \(\psi\) 拿出来：
\[ \bar{A} g^{-1}= g^{-1} A - \mathrm{d}g^{-1}\]右乘 \(g\) ，并利用 \(\mathrm{d}(g^{-1}g)=0\) 得：
\[\boxed{ \bar{A} = g^{-1} A g + g^{-1} \mathrm{d} g }\]这样就得到了联络在规范变换下的变换式。
六、曲率张量
主丛上的曲率 \(F\) 定义为协变外微分 \(\mathrm{D}\) 的平方，是一个 2-形式：
\[\boxed{ F =\mathrm{D}^2 }\]代入 \(\mathrm{D} = \mathrm{d} + A \ \wedge\) 得：
\[\begin{aligned} \mathrm{D}^2 \psi &= (\mathrm{d} + A\ \wedge)^2 \psi \\ &= \cancel{\mathrm{d}\mathrm{d}} + \mathrm{d} (A \wedge \psi) + A \wedge (\mathrm{d}\psi) + A \wedge A \wedge \psi \\ &=\mathrm{d} A \wedge \psi \cancel{- A \wedge \mathrm{d}\psi} \cancel{+A\wedge \mathrm{d}\psi} + A \wedge A \wedge \psi \\ &= (\mathrm{d} A+ A \wedge A)\wedge \psi \end{aligned}\]所以有：
\[\boxed{ F=\mathrm{d} A + A \wedge A }\]将 \(F\) 展开成 \(F = \frac{1}{2}F_{\mu\nu} \mathrm{d}x^\mu \wedge \mathrm{d}x^\nu\) ， \(A\) 展开成 \(A = A_{\mu} \mathrm{d}x^{\mu}\) ，代入上式得：
\[F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + [A_\mu , A_\nu]\]以上推导适用于一切主丛。现在，我们考虑标架丛作为主丛，其纤维上有自由且传递的 \(GL(n)\) 作用，李代数为 \(\mathfrak{gl}(n)\) ，于是上式的左右两边都是 \(\mathfrak{gl}(n)\) 中的矩阵： \(F_{\mu\nu} = \{ (F_{\mu\nu})^i_j\}, \ \ A_{\mu}=\{(A_\mu)^i_j\}\) 。
记 \(R^i_{j\mu\nu} := (F_{\mu\nu})^i_j\) ， \(\Gamma^{i}_{\mu j}:= (A_\mu)^i_j\) ，代入上式得：
\[\boxed{ R^i_{j\mu\nu}= \partial_\mu \Gamma^i_{\nu j} - \partial_\nu \Gamma^i_{\mu j} + \Gamma^{i}_{\mu k} F^{k}_{\nu j} - \Gamma^{i}_{\nu k} F^{k}_{\mu j} }\]这正是曲率张量。
诶？等等？为什么联络 \(\Gamma^i_{\mu j}\) 不是张量场的分量，但 \(R^i_{j\mu\nu}\) 却是张量场的分量呢？
这是因为，虽然联络 \(A\) 不是规范不变的，但曲率 \(F\) 是规范不变（或者说规范协变）的。从下式可以看出，曲率的变换式只有齐次项：
\[\begin{aligned} \mathrm{\bar{\nabla}} &= g^{-1} \mathrm{\nabla} g \\ \Rightarrow \bar{F} &= \bar{\nabla}^2 = (g^{-1} \nabla g)^2 = \underbrace{g^{-1} F g}_{\text{homogeneous}} \end{aligned}\]对比联络的变换式，它有非齐次项：
\[A \mapsto \underbrace{g^{-1}A g}_{\text{homogeneous}} \color{red}{+ \underbrace{g^{-1} \mathrm{d}g}_{\text{inhomogeneous}}}\]总结
本文介绍了：
- 如何将广义相对论的联络（矢量丛上的联络）看成是规范场的联络（主丛上的联络）：
- 如何将黎曼曲率张量看成是非阿贝尔规范场的曲率：
参考
- ^Utiyama, Ryoyu. “Invariant theoretical interpretation of interaction.” Physical Review 101.5 (1956): 1597. https://doi.org/10.1103%2FPhysRev.101.1597