电磁场不只是电场和磁场——AB效应与Berry联络【更高更妙的电动力学·3】
Haifei本系列上一篇文章：
Godfly：规范场论视角下的电动力学【更高更妙的电动力学·2】
电磁场并非电场和磁场。
换句话说，电磁场并不只是电场和磁场。
此话怎讲？
一、电磁势的地位高于场强
在之前的文章中，我们挖过一个坑：
\(\boxed{\begin{aligned} \phi &\mapsto \phi - \partial_t \lambda \\ \mathbf{A} &\mapsto \mathbf{A} + \nabla \lambda \end{aligned}}\)
学过经典电动力学的同学都知道，这就是电磁规范变换，变换前后不影响实际的物理。
在经典电动力学中，我们总是把麦克斯韦方程当作第一性原理，而把规范变换看做是一种衍生品；我们把电场和磁场看做是根本性的实体，而将势能和矢势看做是一种方便的数学手段，认为它们没有实际的物理效应。而正是因为规范变换不影响电场和磁场，我们才导出了规范变换。
但，难道场强真的就是事实的全部吗？
不是的！从更高的视角来看，电磁势 \(A = (\phi, \mathbf{A})\) 才是根本的物理实体，而场强是衍生品。
你可能有很多问题：在电动力学里，难道场强 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 不就是电磁场的全部吗？麦克斯韦方程不就是描述场强的变化吗？难道可观测量不是只有场强吗？由于规范自由度的存在，电磁势 \(A = (\phi, \mathbf{A})\) 难道不是不可观测的吗？
的确，在经典电动力学里，以上的观点是完全正确的。
然而，当进入量子的领域之后，人们才逐渐发现，场强 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 并非事实的全部：有一些现象，只用 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 是无法解释的，只有用电磁势 \(A\) 才能解释。
这个现象就是 Aharonov–Bohm 效应（简称 AB 效应）。直到 AB 效应的发现，人们才正式确立了 \(A\) 的本体地位，而将场强 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 看成是衍生品。
在量子电动力学中，你几乎看不到 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 的身影。取而代之的是电磁势 \(A\) 。
二、Aharonov-Bohm 效应
下面我们来简单推导一下 AB 效应。
在前面的文章中我们讲到协变导数为 \(D_\mu=\partial_\mu + \mathrm{i}\frac{e}{h}A_\mu\) 。
现在，我们让电子沿着某路径缓慢移动，那么其协变导数应当为零：
\[D_\mu \psi = 0\]这正如在广义相对论中，我们让向量做平行移动时，要令其协变导数为零。
于是
\[\begin{aligned} &D_\mu\psi=0\\ &\Rightarrow\left(\partial_\mu + \mathrm{i}\frac{e}{h}A_\mu\right) \psi =0 \\ &\Rightarrow \partial_\mu \psi = -\mathrm{i}\frac{e}{\hbar} A_\mu \psi \\ &\Rightarrow \psi(x) = \psi(x_0) \exp\left( -\mathrm{i}\frac{e}{\hbar}\int A_\mu \mathrm{d}x^\mu\right) \end{aligned}\]可见，除了动力学相位 \(\int\frac{e}{\hbar}A_0 \mathrm{d}x^0 = \int\frac{1}{\hbar} E \mathrm{d}t\) 以外，电子还会增加一个额外的相位 \(\color{red}{\int \frac{e}{\hbar} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}\) 。这就是 Aharonov-Bohm 相位。
考虑一个很长的螺线管，其内部有磁场，但外部磁场为零。现在让电子缓慢绕其一周，相比螺线管未通电时，电子积累的相位变化了
\[\boxed{\begin{aligned} \Delta \theta = \frac{e}{\hbar}\oint \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \frac{e}{\hbar}\int \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{e }{\hbar}\Phi \end{aligned}}\]其中 \(\Phi\) 是螺线管中的磁通量。
人们震惊地发现：电子没有经过任何 \(\mathbf{E},\mathbf{B}\) ，换句话说，在电子的路径上， \(\mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}\) ，但电子却仍然受到了电磁场的影响！这是因为在电子的路径上，虽然有 \(\mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}\) ，但电磁矢势 \(\mathbf{A}\ne 0\) 。
这告诉我们， \(\mathbf{A}\) 才是根本的实体，而 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) 只不过是衍生品而已。
的确，在之前的文章中我们提到， \(A\) 作为主丛上的联络，是第一性的。 \(\mathbf{E}\) 和 \(\mathbf{B}\) （或电磁张量 \(F = \mathrm{d}A\) ）作为联络 \(A\) 的曲率，是第二性的。
注意， \(\Delta \theta = \frac{e}{\hbar}\oint \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}\) 是规范不变的：令 \(\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla\lambda\) ，有 \(\oint \nabla \lambda\cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = 0\) 。可见，只有闭合路径的 AB 相位才是规范不变的。
三、和乐（Holonomy）
在纤维丛的底流形上绕一圈回到原点，导致纤维中的值发生改变，这个现象叫做和乐（Holonomy）。对于我们的 \(U(1)\) 主丛，其纤维是 \(U(1)\) ，此时是 \(U(1)\) 中的元素（ \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) ）发生了变化。
这正如一个切向量在球面上绕一圈回到原点之后，该切向量会发生变化，因为切向量就是切丛的纤维（切空间）中的元素。
切丛上的 Holonomy
在物理学中，\(U(1)\) 纤维丛上的 Holonomy 有个特别的名字，叫做几何相位（Geometric Phase），或者 Berry 相位。其对应的联络叫做 Berry 联络，对应的曲率叫做 Berry 曲率。
在 AB 效应中，Berry 联络 \(\mathcal{A}\) 不是别的，正是电磁 1-形式 \(A\) （实际上还要乘以常数 \(e/\hbar\) ： \(\mathcal{A} = \frac{e}{\hbar} A\) ），而 Berry 曲率 \(F\) 就是磁场 \(B\) （实际上还要乘以常数 \(e/\hbar\) ： \(F = \frac{e}{\hbar} B\) ）。
更准确地说，Berry 曲率应当是 \(A\) 的外微分 \(F = \mathrm{d}A\) ，是一个 2-形式。
通过三维欧式空间的 Hodge 对偶，我们可以将 2-形式对偶成一个 1-形式，也就是磁场 1-形式。对 1-形式 \(A\) 求外微分再求 Hodge 对偶等价于求它的旋度： \(\nabla \times A^\sharp = \star\mathrm{d}A\) 。
之所以人们把磁场叫做赝矢量，也是因为磁场本质上是一个 2-形式，而非一个 1-形式。我们常说的磁场其实是这个 2-形式的 Hodge 对偶。
电磁势 \(\mathbf{A}\) 只是一个特定的 \(U(1)\) 纤维丛上的联络，这个纤维丛的底流形是位形空间自身。
还有其他更多的 \(U(1)\) 纤维丛，它们的底流形不是位形空间，而是抽象的参数空间，比如动量空间。对量子霍尔效应的分析就是在动量空间的 \(U(1)\) 纤维丛上进行的，在那里我们同样可以导出 Berry 联络和 Berry 曲率，这些概念成为了现代凝聚态物理的核心。
四、Berry 联络/曲率
接下来我们来推导 Berry 联络的公式。
现在考虑一个抽象的底流形 \(M\) ， \(M\) 上的点 \(s \in M\) 是哈密顿量 \(H(s)\) 的参数，而不是时空点。此时记哈密顿量的某个本征态为 \(\psi\) 。
从平行移动出发：
\[\begin{aligned} &D_\mu\psi=0\\ &\Rightarrow\left(\partial_\mu + \mathrm{i}A_\mu\right) \psi =0 \\ &\Rightarrow \partial_\mu \psi = -\mathrm{i}A_\mu \psi \end{aligned}\]上式两边与 \(\psi\) 求内积，得到：
\[\langle\psi | \partial_\mu \psi \rangle = -\mathrm{i} A_\mu \langle\psi | \psi\rangle\]即：
\[\boxed{A_\mu = \mathrm{i} \langle \psi | \partial_\mu \psi\rangle}\]这就是 Berry 联络的表达式。也可以写成：
\[\boxed{\mathbf{A} = \mathrm{i} \langle \psi|\nabla \psi\rangle}\]而 Berry 曲率为 Berry 联络的外微分：
\[F = \mathrm{d}A\]写成指标形式则为
\[ \begin{aligned} F_{\mu\nu} &= \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \\ &= \mathrm{i} \left[\partial_\mu \langle \psi | \partial_\nu \psi\rangle -\partial_\nu \langle \psi | \partial_\mu \psi\rangle \right] \\ &= \mathrm{i} [\langle \partial_\mu \psi| \partial_\nu \psi \rangle - \langle \partial_\nu \psi| \partial_\mu \psi \rangle] \end{aligned} \]即
\[\boxed{F_{\mu\nu}=\mathrm{i} [\langle \partial_\mu \psi| \partial_\nu \psi \rangle - \langle \partial_\nu \psi| \partial_\mu \psi \rangle]}\]几何相是联络 1-形式 \(A\) 在闭合曲线 \(\gamma\) 上的积分：
\[\boxed{ \Delta \theta = \int_\gamma A }\]如果存在曲面 \(\Sigma\) 使得曲线 \(\gamma\) 是 \(\Sigma\) 的边界，那么根据 Stokes 定理，有
\[\begin{aligned} \Delta \theta = \int_{\partial \Sigma} A = \int_{\Sigma} \mathrm{d}A = \int_\Sigma F \end{aligned}\]其中 \(\partial \Sigma\) 表示 \(\Sigma\) 的边界。
所以几何相也可以由曲率 2-形式 \(F\) 在曲面 \(\Sigma\) 上积分得到：
\[\boxed{ \Delta \theta = \int_\Sigma F}\]如果我们取 \(\Sigma\) 为闭合曲面，则有 \(\partial \Sigma=0\) ，此时有
\[\Delta \theta = \int_\Sigma F = \int_{\partial \Sigma} A = 0\]然而，在非拓扑平凡的流形上，这个积分不一定为零。这是因为此时无法定义全局的联络 \(A\) ，导致 Stokes 定理不再适用。详情我们在下一篇文章中介绍。
注意，几何相 \(\Delta \theta\) 并非 \(U(1)\) 中的元素，而是 \(U(1)\) 的李代数（也就是 \(\mathbb{R}\) ）中的元素。换句话说，几何相并不是在 \(U(1) = \{ e^{\mathrm{i}\theta} \mid \theta \in [0,2\pi) \}\) 上取值，而是在 \(\mathbb{R}\) 上取值。它代表相位的变化量，而不是相位本身。也就是说，几何相可以取 \(2\pi, 4\pi\) 等等，且它们和 \(0\) 不等价。
在二维晶格中，由于周期性边界条件的存在，电子的动量空间 \(M\) 是一个 Torus，即 \(M=T^2\) 。此时在 \(T^2\) 上对 Berry 曲率 \(F\) 积分，就能得到陈数，它不一定为零：
\[\int_{M} F = 2 k\pi\,\,(k\in\mathbb{Z})\]其中 \(k\) 就是陈数，定义为 \(k = \frac{1}{2\pi}\int_{M} F\) 。
在下篇文章中，我们会介绍陈数的概念，并在具体的例子中计算联络、曲率、陈数。
五*、非阿贝尔几何相位
之前我们通过平行移动定义了 Berry 联络：
从平行移动出发：
\(\begin{aligned} &D_\mu\psi=0\\ &\Rightarrow\left(\partial_\mu + \mathrm{i}A_\mu\right) \psi =0 \\ &\Rightarrow \partial_\mu \psi = -\mathrm{i}A_\mu \psi \end{aligned}\)
上式两边与 \(\psi\) 求内积，得到：
\(\langle\psi | \partial_\mu \psi \rangle = -\mathrm{i} A_\mu \langle\psi | \psi\rangle\)
即： \(\boxed{A_\mu = \mathrm{i} \langle \psi | \partial_\mu \psi\rangle}\)
这就是 Berry 联络的表达式。也可以写成：
\(\boxed{\mathbf{A} = \mathrm{i} \langle \psi|\nabla \psi\rangle}\)
当时我们考虑的是 \(U(1)\) 纤维丛。不过，以上步骤对 \(U(N)\) 纤维丛也是完全成立的！不同之处在于，此时的联络 \(A\) 是 \(U(N)\) 的李代数，也就是 \(\mathfrak{u}(N)\) 中的元素。
什么情况下我们会考虑 \(U(N)\) 纤维丛呢？当能级存在简并的时候。
之前我们考虑的本征态不是简并的。此时如果缓慢改变哈密顿量的参数，那么系统会一直保持处于相应的本征态中，只有相位可以变化。而描述相位变化的群是 \(U(1)\) 。
而如果我们考虑的本征态处于简并的能级（本征子空间）上，并且缓慢改变哈密顿量参数（以不破坏简并的方式），那么系统的状态虽然会维持在原来的本征子空间里，但可以在本征子空间内移动。而描述本征子空间内变换的群就是 \(U(N)\) 。
与 \(U(1)\) 不同， \(U(N)\) 是非阿贝尔（non-Abelian）群，所以相应的几何相位、联络等等前面都可以加上一个“non-Abelian”的前缀。
此时，在 \( \partial_\mu \psi = -\mathrm{i}A_\mu \psi\) 里， \(A_\mu\) 不再是一个普通的实数，而是一个矩阵，即 \(\mathfrak{u}(N)\) 中的元素，它描述了无穷小的 \(U(N)\) 转动。而 \(\psi\) 也不再是一个本征向量，而是一个本征子空间。
我们为本征子空间选取一组基： \(\{ \psi_1, \psi_2, ..., \psi_N\}\) ，于是可以将 \( \partial_\mu \psi = -\mathrm{i}A_\mu \psi\) 写成：
\[ \partial_\mu \psi_b = -\mathrm{i}A_{\mu b}^{c} \psi_c\]两边与 \(\psi_a\) 求内积得：
\[\langle \psi_a | \partial_\mu \psi_b \rangle = -\mathrm{i}\langle \psi_a |A_{\mu b}^{c} \psi_c \rangle = -\mathrm{i} A_{\mu b}^a\]于是
\[\boxed{ A_{\mu}^{ab} = \mathrm{i}\langle \psi_a | \partial_\mu \psi_b \rangle }\]这就是非阿贝尔的 Berry 联络。
在路径 \(\gamma\) 上平行移动所导致的幺正变换 \(U\in U(N)\) 叫做非阿贝尔几何相位：
\[U = \mathcal{P}\exp(\mathrm{i}\int_\gamma A)\]它就是非阿贝尔联络 \(A\) 在路径 \(\gamma\) 上的积分。其中 \(\mathcal{P}\) 是 path-ordering 算子。
它的效果是在泰勒展开后的级数里，将每一项中的算符乘积 \(A(t_1)A(t_2)\cdots A(t_N)\) 依照路径上的先后顺序排序，使得 \(t_1 > t_2 > \cdots > t_N\) 。之所以需要排序，是因为不同点的联络 \(A(t_1)\) 和 \(A(t_2)\) 不交换。
曲率的计算式为（见附录）：
\[\boxed{ F=\mathrm{d}A+\mathrm{i}A\wedge A }\]即
\[\boxed{ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu} +\mathrm{i} [A_\mu,A_\nu] }\]上式的每一项都是一个矩阵，展开来写是：
\[\boxed{ F_{\mu\nu}^{ab} = \partial_\mu A_{\nu}^{a b} - \partial_\nu A_{\mu }^{ab} +\mathrm{i}( A^{ac}_{\mu } A^{cb}_{\nu} - A_{\nu}^{ac} A_{\mu}^{cb}) }\]本系列下一篇文章：
Godfly：狄拉克磁单极子——陈类与陈数【更高更妙的电动力学·4】## 附录
为什么非阿贝尔曲率多了一项 \(\mathrm{i}A\wedge A\) ？
\[F=\mathrm{d}A+\mathrm{i}A\wedge A\]我们重新看一下协变导数 \(\mathrm{D}\) 。抽象而言，它实际上是一个映射 \(\Omega^n(T^*M) \rightarrow \Omega^{n+1}(T^*M)\) ，把 n-形式变成 (n+1)-形式，定义为
\[\boxed{ \mathrm{D} = \mathrm{d} +\mathrm{i} A\wedge }\]现在来看协变导数 \(\mathrm{D}\) 的平方，它等于
\[\mathrm{D}^2 = (\mathrm{d} +\mathrm{i} A\wedge)^2 = \mathrm{i}(\mathrm{d} A -\mathrm{i} A\wedge A) \wedge\]证明：
\[\begin{aligned} \mathrm{D}^2 \psi &= (\mathrm{d} +\mathrm{i} A\wedge)(\mathrm{d}\psi +\mathrm{i} A\wedge\psi) \\ &=\cancel{\mathrm{d}^2\psi} +\mathrm{i} A\wedge \mathrm{d}\psi + \mathrm{d}(\mathrm{i} A\wedge \psi)-A\wedge A\wedge \psi \\ &=\cancel{\mathrm{i} A\wedge \mathrm{d}\psi} + (\mathrm{i} \mathrm{d}A \wedge \psi - \cancel{\mathrm{i} A\wedge \mathrm{d}\psi)}-A\wedge A\wedge \psi \\ &= (\mathrm{i} \mathrm{d}A - A\wedge A)\wedge \psi \\ &= \mathrm{i} (\mathrm{d}A + \mathrm{i}A\wedge A) \wedge \psi \end{aligned}\]于是可以定义曲率算子为 \(F=-\mathrm{i}\ \mathrm{D}^2 =(\mathrm{d}A + \mathrm{i}A\wedge A) \wedge\) 。它把 n-形式变成 (n+2)-形式。