相空间为什么有时看起来像一个复平面？
Haifei学过物理的同学们都知道相空间，它是由广义坐标 \(q\) 和广义动量 \(p\) 构成的。
例 1：单摆的角度构成一个构型空间 \(S_1\) 。角度和角动量构成一个相空间 \(S_1 \times \mathbb{R}\) 。
例 2：给定经典电磁场的哈密顿量和边界条件，某个模式上的电场强度构成一个构型空间，该模式上电场强度的余弦分量和正弦分量构成一个相空间。
单摆的相空间轨迹
实际上，给定一个构型空间 \(M\) ，相空间就是 \(M\) 上的余切丛 \(T^*M\) 。
然而，解题的时候，我们物理人往往也会用到复平面。
例 1：给定谐振子的哈密顿方程
\(\cases{ \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \omega p\\ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = -\omega q }\)
即
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} q \\ p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q\\ p \end{bmatrix}\)
对角化得到特征向量 \(a^{\pm} = q\pm\mathrm{i}p\) ，于是 \(a^{\pm}\) 的导数就只和自己有关：
\(\frac{\mathrm{d}a^{\pm}}{\mathrm{d}t}=\mp\mathrm{i}\omega a^{\pm},\quad a^{\pm}=a_0^{\pm} \exp (\mp\mathrm{i}\omega t)\)
虽然经典力学中没有复数，但是这里的复数作为特征值出现是非常自然的。这个手段量子化之后就得到了产生和湮灭算符。例 2：描述单模经典电磁场的相量图（Phasor diagram）定义在复平面上。当然，也可以描述电流电压等量。
例 3：描述单模量子电磁场的 Wigner function 定义在复平面上。
可以用 phasor diagram 解电路题
Wigner function
这些种种都在暗示我们：难道相空间可以是个复平面？经过与数学系同学的讨论，的确如此，但前提是该相空间自身是一个向量空间。论证如下：
**（1）**相空间是构型空间的余切丛。
**（2）**任何一个余切丛都自带一个典范的辛结构。
或者说，余切丛上任意一点的切空间自带一个典范的辛形式。
**（3）**如果余切丛本身恰好也是一个向量空间，那么其切空间就自然同构于它自身。从而，根据 (2)，该余切丛也是一个辛向量空间。
**（4）**一个带内积 \(g\) 的辛向量空间 \((V,\omega)\) 自带一个典范的复结构 \(J\) [1]。
\(V\) 上的复结构 \(J\) 定义为 \(J \in \operatorname{End}(V) \quad\text{s.t.} \quad J^2 = -\operatorname{id}\) 。
由**（1-4）**可知，如果一个相空间恰好是一个向量空间，那么该相空间自带一个复结构。
所以， \(T^*\mathbb{R} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) 和 \(\mathbb{C}\) 有相同的数学结构。 \(T^*(\mathbb{R}^n) = \mathbb{R}^n \times (\mathbb{R}^{n})^*\) 和 \(\mathbb{C}^n\) 有相同的数学结构。这就是我们可以用复平面来代替相空间的原因。
但要注意，不是所有相空间都可被看作复平面。只有构型空间本身是一个向量空间时，相空间才是一个向量空间，从而才能被看成复平面。例如，单摆的相空间就不是一个向量空间，不能被看作复平面。
更：以上（1-4）有点抽象。下面给个具体的构造。
考虑构型空间 \(\mathbb{R}\) ，相空间 \(T^*(\mathbb{R}) = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) ，有全局坐标系 \((p,q)\)。
\(T^*(\mathbb{R})\) 上典范的辛形式为 \(\omega= \mathrm{d} p \wedge \mathrm{d} q\) ，它不依赖于基。矩阵形式为 \(M(\omega)=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\) 。
\(T^*(\mathbb{R})\) 上的典范欧式内积为 \(g = \mathrm{d}q^2 + \mathrm{d}p^2\) ，其矩阵形式为 \(M(g)=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 。
我们可以借助 \(g(u,v)=\omega(u,Jv)\) 定义复结构 \(J\in \text{End}[T^*(\mathbb{R})]\) 。由于其矩阵形式满足 \(M(g)=M(\omega)M(J)\) ，所以 \(M(J)=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) 。这个矩阵是不是有点眼熟？没错，它就是虚数单位 \(\mathrm{i}\) 的矩阵表示。