黑体辐射的推导（无废话版）
Haifei闲来无事，复习一下黑体辐射吧~
很多讲黑体辐射的文章都要一上来就跟你讲一大段历史，很容易看迷糊。
本文单刀直入，直接闭嘴计算。
1. 黑体辐射公式是什么
黑体辐射公式指的是一个黑体在单位频率中所辐射的能量密度。
要计算黑体辐射公式，就要计算从频率 \(\nu\) 到 \(\nu + \mathrm{d}\nu\) 之间有多少个量子态，以及每个量子态上有多少个光子，再将它们乘以光子的能量 \(h\nu\) 。
\[\varepsilon(\nu) \mathrm{d} \nu = [(\nu,\nu+\mathrm{d}\nu) 中有多少个量子态] \times [这些量子态上有多少个光子] \times h\nu\]2. 态密度
频率 \(\nu\) 到 \(\nu + \mathrm{d}\nu\) 之间有多少个量子态？
考虑一个周期性边界条件的长方体盒子，长宽高为 \(L_{x,y,z}\) 。那么盒子中的电磁波的波数 \(\kappa_{x,y,z}\) 就满足：
\[\kappa_i = n_i/L_i, \quad(i=x,y,z)\]注意 \(\kappa\) 是波数，而不是波矢 \(k\) 。二者的关系为 \(k = 2\pi \kappa\) 。
于是量子态的数量为：
\[\mathrm{d} N = \mathrm{d} n_x\mathrm{d}n_y\mathrm{d}n_z = L_xL_yL_z \mathrm{d}\kappa_x \mathrm{d}\kappa_y\mathrm{d}\kappa_z = V \mathrm{d}^3\vec{\kappa}\]设 \(\nu\) 到 \(\nu + \mathrm{d}\nu\) 之间的态的数量为 \(f(\nu)\) ，则
\[f(\nu) \mathrm{d}\nu = \mathrm{d}N = V \mathrm{d}^3\vec{\kappa} = V \cdot4\pi \kappa^2 \mathrm{d}\kappa = V \cdot\frac{4 \pi \nu^2}{c^3} \mathrm{d} \nu\]其中 \(\kappa = |\vec{\kappa}|\) ，且 \(\nu = c\kappa\) 。
所以 \(f(\nu) = V \cdot4 \pi \nu^2/c^3\) 。
由于一个空间模式的电磁波有两种偏振，因此还要乘以 2。另外，我们要求的是能量密度，而不是能量，所以我们可以提前把体积除掉：
\[f(\nu) = 8 \pi \nu^2/c^3\]这就是 \(\nu\) 到 \(\nu + \mathrm{d}\nu\) 之间的（单位体积的）态的数量。
这一部分的想法就是在三维空间中，频率 \(\nu\) 附近的态密度正比于 \(\nu\) 的平方，正如一个球面的面积正比于半径的平方。
3. 某量子态上的光子数
热平衡时，频率为 \(\nu\) 的态上有多少个光子数？答案是 \(1/(e^{h\nu/kT} - 1)\) 。下面来推导一下：
玻色子体系的配分函数为：
\[\begin{aligned} Z &= \sum_{n_1,n_2,\cdots} \exp[-\beta (n_1 \varepsilon_1 + n_2 \varepsilon_2 +\cdots)] \\ &= \left(\sum_{n_1} e^{-\beta n_1\varepsilon_1}\right)\left(\sum_{n_2} e^{-\beta n_2\varepsilon_2}\right)\cdots \\ &= \left(\frac{1}{1-e^{-\beta \varepsilon_1}}\right) \left(\frac{1}{1-e^{-\beta \varepsilon_2}}\right) \cdots \end{aligned}\]其中 \(\varepsilon_i\) 表示第 i 个模式上的光子能量， \(n_i\) 表示第 i 个频率模式上的光子数。
那么第 i 个模式上的平均光子数为：
\[\begin{aligned} \langle n_i\rangle = -\frac{1}{\beta}\frac{\partial \ln Z}{\partial \varepsilon_i} = \frac{1}{e^{\beta \varepsilon_i} - 1} \end{aligned}\]也就是说：频率为 \(\nu\) 的态上的热平衡光子数是 \(\langle n(\nu)\rangle = 1/(e^{h\nu/kT} - 1)\) 。
其实这就是不带化学势的玻色-爱因斯坦分布。也叫普朗克分布。
4. 结果
\[\begin{aligned} \varepsilon(\nu) \mathrm{d} \nu &= [(\nu,\nu+\mathrm{d}\nu) 中有多少个量子态] \times [这些量子态上有多少个光子] \times h\nu \\ &=f(\nu) \mathrm{d} \nu \cdot\langle n(\nu)\rangle \cdot h\nu\\ &=\frac{8\pi \nu^2}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/kT}-1} \cdot h\nu \end{aligned}\]这么看来，黑体辐射公式还是很好记的，只要记住态密度 \(f(\nu)\) 和热平衡时的光子数 \(\langle n(\nu)\rangle\) 即可。态密度正比于频率的平方，热平衡光子数服从玻色爱因斯坦分布。
当频率较低时， \(\varepsilon(\nu)\) 被态密度和单个光子的能量所限制，当频率较高时， \(\varepsilon(\nu)\) 被平均光子数所限制。
习题 1：在二维世界中，态密度长什么样？黑体辐射的公式长什么样？
习题 2：紫外灾难是上面哪一步出错导致的？
习题 3：在常温和可见光频率（ \(\sim 5.5 \times 10^{14} \text{Hz}\) ）下，单个模式的热平衡的光子数大概是多少？
答案 1：在二维世界中，态密度为 \(f(\nu)=2\pi\nu/c^2\) ，黑体辐射公式为 \(\varepsilon(\nu)=\frac{2\pi h\nu^2}{c^2(e^{h\nu/kT}-1)}\)
答案 2：紫外灾难是直接把 \(\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1}\) 换成了经典能均分定理的 \(kT\) 。当 \(\nu \ll 1\) 时， \(\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1} \rightarrow kT\) ，但当 \(\nu \gg 1\) 时， \(\varepsilon(\nu)\) 就会发散，这就是紫外灾难。
答案 3：在常温和可见光频率下， \(h\nu /kT = \frac{6.6 × 10^{-34} \times 5.5 \times 10^{14}}{1.4 × 10^{-23} \times 300} = 86\) ， \(\frac{1}{e^{86}-1} \ll 1\) 。这就是为什么我们看不到可见光波段的黑体辐射的原因。