一文入门微分几何（物理人版）

例如对于 \(\omega=2\,\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^4+4\,\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3\wedge\mathrm{d}x^5\) ，有 \(I=(1,2,4),(2,3,5)\) ， \(f_{(1,2,4)}=2, f_{(2,3,5)}=4\) 。

评论 可定向性

考虑一个莫比乌斯带（Mobius Strip），想象一个左舵的小车在上面行驶。如果让它行驶一圈回到原来的地方，你会发现它从左舵变成了右舵。这使得我们需要考虑“手性”或者“定向性”的概念。

我们现在定义 n 维流形的可定向性（Orientability）。如果一个 n 维流形上存在处处非零的微分形式，那么称该流形为可定向的。

回到上面的例子，我们可以证明，在莫比乌斯带上，不存在处处非零的微分形式（连续性要求我们无法从左舵突变成右舵，即无法突然变号）。因此，莫比乌斯带不可定向。

在可定向的 n 维流形上，我们可以选择一个定向（Orientation）。一个处处非零的 n 维微分形式 \(o\) 给出了一个定向。

如果存在一个处处为正的标量场 \(f\) 使得 \(o_2=f o_1\) ，那么我们说 \(o_1\) 和 \(o_2\) 给出了同一个定向。

可以看出，定向只有两种，一种满足 \(o_2=f o_1\) ，另一种满足 \(o_3=-fo_1\) 。因此，我们实际上是把定向定义为处处非零的微分形式的等价类。

在选定好一个定向 \(o\) 后，就存在两套手性相反的坐标系，一套坐标系 \(\{e^k\}\) 所对应的 n 维微分形式 \(e^1\wedge\cdots\wedge e^n\) 的定向与 \(o\) 相同，另一套与 \(o\) 相反。我们把这两类坐标系称为关于定向 \(o\) 的右手坐标系和左手坐标系。

3.4 外微分算子（Exterior Derivative）

外微分的定义如下：

外微分是一个映射 \(\mathrm{d}: \bigwedge^n(T_p^*M)\rightarrow \bigwedge^{n+1}(T_p^*M)\) ，它作用到一个 n 阶微分形式： \(\varphi=\sum_{I}f_I\mathrm{d}x^{I}\) 上，得到一个 (n+1) 阶微分形式：

例 3.2

对于一个 3 维流形上的二阶微分形式： \(\varphi=z^2\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+x\sin y\,\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\) ，其外微分为：

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\varphi &= \mathrm{d}(z^2) \wedge \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y + \mathrm{d}(x \sin y) \wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z \\&=\left(\frac{\partial z^2}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z^2}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial z^2}{\partial z}\mathrm{d}z\right)\wedge\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \\& +\left(\frac{\partial (x\sin y)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial (x\sin y)}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial (x\sin y)}{\partial z}\mathrm{d}z\right)\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \\&=(2z+\sin y)\,\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z \end{aligned}\]

上文是一种显式的定义。我们也可以用外微分算子的性质来定义它自身。具体来说，外微分满足如下三个性质：

a. 一个零阶微分形式（标量场） \(f\) 的外微分定义为它的微分 \(\mathrm{d}f\) 。

b. 一个零阶微分形式（标量场）的二阶外微分 \(\mathrm{d}(\mathrm{d}f)\) 等于零。

c. 对于任意两个 \(n\) 阶微分形式 \(\alpha\) 和 \(\beta\) ，都有 \(\mathrm{d}(\alpha \wedge \beta)=\mathrm{d}\alpha \wedge \beta + (-1)^n \alpha \wedge \mathrm{d}\beta\)

这三个性质也可以用来定义外微分。

3.5 梯度、旋度、散度（Gradient, Curl, Divergence）

现在，我们可以回顾一下矢量微积分中的梯度、散度和旋度。它们都是外微分的表现形式。

在下面的例子（例 3.3）中，我们将会给出梯度与外微分的关系：

例 3.3

外微分算子 \(\mathrm{d}\) 作用到一个零阶微分形式（标量场）后，会得到一个一阶微分形式： \(\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm{d}x^i\) 。

它可以写成梯度和切向量的内积： \(\mathrm{d}f:\mathrm{d}f(v)=\langle \nabla f\mid v \rangle\)

换句话说，我们有一个由内积诱导的自然同构（见第 2.9 节）： \(\mathrm{d}f \mapsto \nabla f\) 。其中 \(f\) 是一个零阶微分形式（标量场）。

用音乐同构（见第 2.9 节）的语言，我们还可以写成这样：

\(\nabla f=\sharp\mathrm{d}f\) 或 \(\mathrm{d}f=\flat\nabla f\)

上述例子为梯度的定义提供了一些启发。现在，我们就可以来定义梯度了：

梯度定义为：

评论

可以看出，如果没有定义内积，那么我们是定义不了梯度的（如果没有内积，我们就没有音乐同构 \(\sharp :\mathrm{d}f \mapsto \nabla f\) ）。对于后面的散度和旋度也是如此。

换句话说，只有黎曼流形才有梯度，散度和旋度的概念。如果一个微分流形没有配备内积（度规张量）而成为黎曼流形的话，我们就不能在这个微分流形上讨论梯度，散度和旋度。

度规张量允许我们可以在切丛与余切丛之间来去自如（对于物理人来说，也就是指标的升降）。请记住这一点，我们后面定义旋度和散度时都要用到！

在下面的例子（例 3.4）中，我们将会给出旋度与外微分的关系：

例 3.4

外微分算子 \(\mathrm{d}\) 作用到一个一阶微分形式（余切向量场）后，会得到一个二阶微分形式：

\[\begin{aligned} \mathrm{d}(f_i\mathrm{d}x^i)&=\cancel{\frac{\partial f_1}{\partial x^1}\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^1}+\frac{\partial f_1}{\partial x^2}\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^1+\frac{\partial f_1}{\partial x^3}\mathrm{d}x^3\wedge\mathrm{d}x^1 \\&+\frac{\partial f_2}{\partial x^1}\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2+\cancel{\frac{\partial f_2}{\partial x^2}\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^2}+\frac{\partial f_2}{\partial x^3}\mathrm{d}x^3\wedge\mathrm{d}x^2 \\&+\frac{\partial f_3}{\partial x^1}\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^3+\frac{\partial f_3}{\partial x^2}\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3+\cancel{\frac{\partial f_3}{\partial x^3}\mathrm{d}x^3\wedge\mathrm{d}x^3} \end{aligned}\]

对它使用一次 Hodge 星算子，会得到一个一阶微分形式：

\[\begin{aligned} \star \mathrm{d}(f_i\mathrm{d}x^i)&=\phantom{+\frac{\partial f_1}{\partial x^2}\mathrm{d}x^3}-\frac{\partial f_1}{\partial x^2}\mathrm{d}x^3+\frac{\partial f_1}{\partial x^3}\mathrm{d}x^2 \\&\phantom{=}+\frac{\partial f_2}{\partial x^1}\mathrm{d}x^3 \phantom{\,\,\,\,-\frac{\partial f_1}{\partial x^2}\mathrm{d}x^3} -\frac{\partial f_2}{\partial x^3}\mathrm{d}x^1 \\&\phantom{=}-\frac{\partial f_3}{\partial x^1}\mathrm{d}x^2+\frac{\partial f_3}{\partial x^2}\mathrm{d}x^1 \\&=\left(\frac{\partial f_3}{\partial x^2}-\frac{\partial f_2}{\partial x^3}\right)\mathrm{d}x^1 + \left(\frac{\partial f_1}{\partial x^3}-\frac{\partial f_3}{\partial x^1}\right)\mathrm{d}x^2 + \left(\frac{\partial f_2}{\partial x^1}-\frac{\partial f_1}{\partial x^2}\right)\mathrm{d}x^3 \end{aligned}\]

它可以写成旋度和切向量的内积： \(\star\mathrm{d}f:\star\mathrm{d}f(v)=\langle \nabla \times \sharp f\mid v \rangle\)

注意到我们用了一个升号： \(\sharp\) 。这是因为旋度是作用在切向量场，而非余切向量场上的。具体来说，旋度 \(\nabla\times\) 把切向量场映射成切向量场： \( \Gamma(TM)\rightarrow \Gamma(TM)\) 。但是 \(f\in \Gamma(T^*M)\) 是一个余切向量场（一阶微分形式），因此我们先要给将它“升”为切向量场： \(\sharp f\in \Gamma(TM)\) 。

我们在第 3.7 节将会介绍什么是 Hodge 星算子，现在，你只需要知道，在 3 维流形上，Hodge 算子作用到一个的 n 阶微分形式上会得到一个 (3-n) 阶微分形式。具体地，如果配备了度规 \(\langle\mathrm{d}x^i,\mathrm{d}x^j\rangle=\delta^{j}_i\) ，则有：

\(\star(\mathrm{d}x^i \wedge \mathrm{d}x^j)=\mathrm{d}x^k\) ，
\(\star\mathrm{d}x^i =\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^k\) ，
\(\star(\mathrm{d}x^i \wedge\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^k)=1\) ，
\(\star 1= \,\mathrm{d}x^i \wedge\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^k\)

其中 \((i,j,k)\) 是 \((1,2,3)\) 的一个偶置换。

回到上面的例子，我们有一个由内积诱导的自然同构（见第 2.9 节）：

\(\sharp\star \mathrm{d}f = \nabla\times \sharp f\)

或写成：

\(\star \mathrm{d}f(v) = \langle\nabla\times \sharp f\mid v\rangle\)

其中 \( f\in \Gamma(T^*M)\) 是一个一阶微分形式。

还可以写成：

\(\nabla\times F=\sharp\star \mathrm{d} \flat F\)

其中 \(F\in \Gamma(TM)\) ， \(\flat F \in \Gamma(T^*M)\) 。

上述例子为旋度的定义提供了一些启发。现在，我们就可以来定义旋度了：

旋度定义为

在下面的例子（例 3.5）中，我们将会给出散度与外微分之间的关系。

例 3.5

外微分算子 \(\mathrm{d}\) 作用到一个二阶微分形式后，得到一个三阶微分形式：

\(\mathrm{d}(f_1\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3+f_2\mathrm{d}x^3\wedge\mathrm{d}x^1+f_3\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2)=(f_1+f_2+f_3)\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3\)

对它使用一次 Hodge 星算子，会得到一个零阶微分形式（标量场）：

\(\star\mathrm{d}(f_1\mathrm{d}x^2\wedge\mathrm{d}x^3+f_2\mathrm{d}x^3\wedge\mathrm{d}x^1+f_3\mathrm{d}x^1\wedge\mathrm{d}x^2)=f_1+f_2+f_3\)

这其实就是散度：

\(\star\mathrm{d} f =\nabla \cdot (\sharp\star f)\)

其中 \(f\) 是一个二阶微分形式。

你可能快要被这一堆符号绕晕了。现在我们来解释一下：

先来看等式的左边。首先， \(f\) 是一个二阶微分形式。其次，外微分 \(\mathrm{d}\) 把 \(f\) 从一个二阶微分形式变成一个三阶微分形式： \(\mathrm{d} f\) 。最后，Hodge 星算子将这个三阶微分形式变回零阶微分形式： \(\star (\mathrm{d} f)\) ，也就是一个标量场。

再看等式的右边。由于 \(\star f\) 是一个一阶微分形式，也就是一个余切向量场，而散度是作用在切向量场上的，因此我们需要一个升号 \(\sharp\) 将余切向量场变为切向量场。

令 \(F=\sharp \star f\) ，于是我们可以把 \(\star\mathrm{d} f =\nabla \cdot (\sharp\star f)\) 写成：

\(\nabla\cdot F=\star \mathrm{d}\star\flat F\)

上述例子为散度的定义提供了一些启发。现在，我们就可以来定义散度了：

散度定义为

评论

以上关于梯度、旋度和散度的定义不仅适用于 3 维流形，而且还适用于 n 维流形。例如，一个 n 维流形上的切向量场的旋度是一个 \((n-2,0)\) 型反对称张量场，或者说是一个 (n-2)-vector field（见第 3.6 节）。

总结：

下面我们介绍一个重要的定理：

定理 3.1 \(\mathrm{d}^2=0\)

证明留给读者。

评论 对于任何一个微分形式，求两次外微分都会得到零。

现在，我们回顾一下矢量微积分的两个定理： \(\nabla\cdot(\nabla\times A)=0\) 和 \(\nabla\times (\nabla A)=0\) 。实际上它们只不过是三维流形上的 \(\mathrm{d}^2=0\) 的表现形式而已。推导留给读者。

3.6 k-向量、赝矢量（k-vector, Pseudovector）

评论

你现在可能在想：形式（form）是余切向量的外积，但是切向量的外积是什么呢？

实际上，它们也有名字，只不过它们的名字很朴素，就叫 n-向量（n-vector）。特别地，2-vector 也可以叫 bivector；3-vector 也可以叫 trivector。

我们在物理书中经常听到所谓“赝矢量”（pseudo-vector）和“赝标量”（pseudo-scalar）的说法。

实际上，在 3 维流形中，“赝矢量”就是两个切矢量的外积 \(v\in T_pM\wedge T_pM=\bigwedge^2(T_pM)\) ，“赝标量”就是三个切矢量的外积 \(s\in T_pM\wedge T_pM\wedge T_pM=\bigwedge^3(T_pM)\) 。因为 \(\bigwedge^2(T_pM)\) 和 \(\bigwedge^1(T_pM)\) 之间有 Hodge 对偶关系，所以我们“误把”赝矢量当作矢量了。同理，因为 \(\bigwedge^3(T_pM)\) 和 \(\bigwedge^0(T_pM)\) （标量场）之间有 Hodge 对偶关系，所以我们“误把”赝标量当作标量了。

评论 实际上，3 维流形上的赝矢量，在数学上就是 2-矢量（bivector，2-vector）。它和 2-form 的定义是类似的，只不过 2-vector 在切空间的外积中，而 2-form 在余切空间的外积中。

现在来更正式地定义一下 n-向量（n-vector）：一个 n-向量 是 \(\bigwedge^n(T_pM)\) 中的一个元素。

同理，我们还可以定义 n-向量场为 \(\bigwedge^n(TM)=\{(p,v)\mid p\in M,v\in\bigwedge^n(T_pM)\}\) 。

评论

回想一下，我们之所以把“赝矢量”叫做“赝矢量”，是因为它们在空间反演变换下会有奇怪的行为。但是如果你把它当作两个矢量的外积，那么一切奇怪的行为都有了解释。

具体地，看下图，在空间反演变换下，磁场竟然调转了方向！这就类似于你往一个方向走，但是镜子里的你往另一个方向走。这实在是一个灵异现象。

磁场是一个 bivector。如果你把磁场看成 vector，就会出现图中这种灵异的现象。

实际上，某一点处的磁场并非一个 vector，而是一个 bivector。即 \(B\in (T_pM)\wedge (T_pM)\) 。它的基为 \(\partial_x\wedge \partial_y,\,\partial_y\wedge \partial_z,\,\partial_z\wedge \partial_x\) 。

所以说，并没有什么灵异事件（欢迎收看《走近科学》！）。在空间反演变换下，磁场对应的两个 vector 分别都朝向了正确的方向，只不过人类非要用右手螺旋定则，将一个 bivector 通过 Hodge 对偶看成是一个 vector。这才导致了诡异现象的出现。

实际上，这样做只在三维流形中可行，因为只有在三维流形中，三减二才恰好等于一。在四维流形中，由于四减二等于二，我们不能把 bivector 看成是 vector，而只能看成是另一个 bivector，于是自然也就没有什么右手螺旋定则可言了。

当然，在四维流形中，我们照样是有旋度的，只不过四维流形的旋度是一个 bivector，而不是一个 vector。而 n 维流形上的旋度是一个 (n-2)-vector（见第 3.5 节）。

顺便一提，电场也是一个 bivector，它的基为 \(\partial_t\wedge \partial_x,\,\partial_t\wedge \partial_y,\,\partial_t\wedge \partial_z\) ，有一个时间维度。之所以它看起来不是“赝矢量”，是因为我们只考虑了空间反演变换，没有考虑时间反演变换。

赝向量不是天然存在于流形上的。只有配备了度规，我们才能将微分形式通过音乐同构升为赝向量场。实际上，电磁场本质上是微分形式（余切张量场），而不是切向量场。电磁场定义为 4-势 \(A\) 的外微分 \(F=\mathrm{d}A\) ，见下文的例 3.7。

3.7 霍奇对偶（Hodge Duality）

评论

你可能早就注意到了，在 \(n\) 维流形上，一个 \(k\) 阶微分形式与一个 \((n-k)\) 阶微分形式的基的数量是相同的！换句话说， \(\bigwedge^k(T^*M)\) 的维数等于 \(\bigwedge^{n-k}(T^*M)\) 的维数。这是因为我们有恒等式 \(C_n^k = C_n^{n-k}\) 。

如果两个有限维线性空间的维数相同，那么它们就是同构的。也就是说， \(\bigwedge^k(T^*M)\) 与 \(\bigwedge^{n-k}(T^*M)\) 是同构的，但是这样的同构有无数多个。能否定义一个自然（典范）的同构才是我们关心的。

经过第 2.9 节的讨论，我们可以发现：单靠微分流形自身的结构，我们是无法导出典范同构的。我们需要配备了内积（或非退化双线性形式）的微分流形，即（伪）黎曼流形。

也就是说，我们需要请回我们的老朋友——度规。在第 2.9 节中，我们通过内积诱导了从切丛 \(TM\) 到余切丛 \(T^*M\) 的典范同构。现在，我们通过度规来诱导从 \(\bigwedge^n(T^*M)\) 到 \(\bigwedge^{m-n}(T^*M)\) 的典范同构，它就是 Hodge 对偶。

评论

以下所有推导，不仅适用于 k 阶形式 \(\alpha \in \bigwedge^k(T_p^*M)\) ，而且也适用于 k-vectors： \(v\in\bigwedge^k(T_pM)\) 。

给定一个黎曼流形，我们已知 \(V\) 上的一个内积 \(V\times V\rightarrow \mathbb{R}\) ，

现在，我们需要通过它来诱导出一个 \(\bigwedge^k(V)\) 上的内积 \(\bigwedge^k(V)\times \bigwedge^k(V)\rightarrow \mathbb{R}\) 。

记 \(\alpha = \alpha_1\wedge\alpha_2\wedge \cdots\wedge \alpha_k \in \bigwedge^k(V)\) ， \(\beta = \beta_1\wedge\beta_2\wedge \cdots\wedge \beta_k \in \bigwedge^k(V)\) ，我们定义 \(\bigwedge^k(V)\) 上的内积 \(\langle\alpha\mid\beta\rangle\) 如下：

之所以要这么定义，是因为我们希望这个内积仍然保持外代数的结构。

定义了 \(\bigwedge^k(V)\) 上的内积之后，我们就可以导出从 \(\bigwedge^k(V)\) 到 \(\bigwedge^{n-k}(V)\) 的典范同构。接下来，我们给出这个同构，也就是霍奇对偶的定义：

现有 \(m\) 维流形上的一个 \(n\) 阶微分形式 \(\beta\) ，

定义 \(\beta\) 的霍奇对偶为一个 \((m-n)\) 阶形式，记作 \(\star \beta\) ，使得对于所有 \(n\) 阶形式 \(\alpha\in\bigwedge^{n}(T_p^*M)\) ，都有下式成立：

\(\alpha \wedge (\star\beta)=\langle\alpha\mid\beta\rangle \,\omega_g\) 。

其中 \(\langle\cdot\mid\cdot\rangle\) 是 \(\bigwedge^n(T_p^*M)\) 上的内积； \(\omega_g\) 是单位正交基 \(\mathrm{d}x^1\wedge \mathrm{d}x^2\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^m\) 构成的 \(m\) 阶微分形式，也称作单位体积形式，顾名思义，它的体积为 1： \(\langle \omega_g | \omega_g\rangle = 1\) 。

我们再来用自然语言转述一遍：

在 \(n\) 维流形上， \(k\) 阶形式 \(\beta\) 的霍奇对偶 \(\star \beta\) 是这样一个 \((n-k)\) 阶形式，使得对于任意一个 \(k\) 阶形式 \(\alpha\) ， \(\alpha\) 与 \(\star \beta\) 的外积（的体积）都等于 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的内积。

例 3.6

在三维流形上，给定 \(T_p^*M\) 上的内积 \(\langle \mathrm{d}x^i\mid \mathrm{d}x^j\rangle=\begin{cases} 1, &i= j\\ 0, & i\neq j \end{cases}\) 及其诱导的 \(\bigwedge^k(T_p^*M)\) 上的内积，那么
0-form，1-form，2-form，3-form 的霍奇对偶分别如下：

\(\star f=f \,\mathrm{d}x^i \wedge\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^k\) ，
\(\star \mathrm{d}x^i =\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^k\) ，
\(\star(\mathrm{d}x^i \wedge \mathrm{d}x^j)=\mathrm{d}x^k\) ，
\(\star(f\,\mathrm{d}x^i \wedge\mathrm{d}x^j\wedge \mathrm{d}x^k)=f\)

其中 \((i,j,k)\) 是 \((1,2,3)\) 的一个偶置换。

请读者自行验证。

评论

回忆我们上一节所讲到的“赝矢量”，在定义了 Hodge 对偶之后，它和 bivector 之间的关系就很自然了。这其实就是我们常说的“右手螺旋定则”。

评论

在讨论 Hodge 对偶的时候，我们总是已经给定了一个内积。或者说，内积是我们的先验知识。从这个的意义上来说，Hodge 对偶是一个自然或者典范的同构。

对于物理人来说，Hodge 对偶当然是非常自然的。我们每次使用右手螺旋定则的时候，我们实际上都在不知不觉中使用了 Hodge 对偶。

接下来，我们给出 Hodge 对偶在欧几里得空间 \(\mathbb{R}^3\) 中的示意图：

Hodge Duality

定义了 Hodge 对偶之后，我们就可以用外代数的语言来重写麦克斯韦方程了，见下例（例 3.7）

例 3.7 麦克斯韦方程（外代数版本）

定义电磁二阶微分形式为（采取自然单位制）:

\[\begin{aligned} F&=E_x\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}z\\ &+B_x \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z + B_y \mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x + B_z\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \end{aligned}\]

它实际上是 4-势 的外微分：
\(F = \mathrm{d}A\)
其中 \(A = -\phi/c \,\mathrm{d}t + A_x \mathrm{d}x + A_y \mathrm{d}y + A_z \mathrm{d}z\)
请读者自行验证。

由于我们可以通过度规张量来任意升降一个张量的指标，所以对上式升指标，我们也可以写出一个 \((2,0)\) 型电磁张量，它以 \(\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\) 的外积为基。不过我们暂时先采用 \((0,2)\) 型反对称张量（微分形式）的写法。反正在配备了度规的情况下， \((2,0)\) 型张量场与 \((0,2)\) 型张量场之间有典范同构，可以看作是等价的。

定义电流微分形式为：

\(J=-\rho c\mathrm{d}t+J_x\mathrm{d}x+J_y\mathrm{d}y+J_z\mathrm{d}z\)

至于内积，就是我们喜闻乐见的闵可夫斯基度规：

\(\langle \mathrm{d}t\mid\mathrm{d}t\rangle=-1\)
\(\langle \mathrm{d}x\mid\mathrm{d}x\rangle=\langle \mathrm{d}y\mid\mathrm{d}y\rangle=\langle \mathrm{d}z\mid\mathrm{d}z\rangle=1\) ，
\(\langle \mathrm{d}t\mid\mathrm{d}x\rangle=\langle \mathrm{d}t\mid\mathrm{d}y\rangle=\langle \mathrm{d}t\mid\mathrm{d}z\rangle=0\) ，
\(\langle \mathrm{d}x\mid\mathrm{d}y\rangle=\langle \mathrm{d}y\mid\mathrm{d}z\rangle=\langle \mathrm{d}z\mid\mathrm{d}x\rangle=0\) ，

它可以诱导出 \(\bigwedge^2(T_p^*M)\) 上的内积，如下所示（请读者自行推导）：

\(\langle\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x\mid\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x\rangle=\langle\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}y\mid\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}y\rangle=\langle\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}z\mid\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}z\rangle=-1\)，
\(\langle\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\mid\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\rangle=\langle\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\mid\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\rangle=\langle\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x\mid\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x\rangle=1\) ，
其余均为零。

以及 \(\bigwedge^3(T_p^*M)\) 上的内积，如下所示（请读者自行推导）：
\(\langle\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\mid\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\rangle=1\) ，
\(\langle\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\mid\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\rangle=\langle\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x\mid\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x\rangle=\langle\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\mid\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\rangle=-1\)
其余均为零。

在上述的内积（闵可夫斯基度规）下，麦克斯韦方程可以写成如下形式：

\[\left\{\quad \begin{aligned} \mathrm{d}F&=0\\ \star\,\mathrm{d}\star F &= J \end{aligned} \right.\]

感兴趣的读者可以自行推导上式。计算并不复杂。其中 \(\mathrm{d} F = 0\) 是很显然的，因为 \(F = \mathrm{d}A\) 而 \(\mathrm{d}\mathrm{d} = 0\) 。

小结

在本章中，我们利用外代数研究了流形上的微分。具体来说：

首先，我们引入交替多重线性映射，并基于它定义了外积。把 0 阶、1 阶、…、n 阶的外积直和起来，我们就得到了外代数。

其次，我们引入形式，它生活在余切空间的外积中。微分形式则是“形式的场”，即为流形上的每一点都指派了一个形式。另外，我们介绍了外微分算子，它是微分在外代数上的推广。

最后，我们将上述理论应用到梯度、旋度、散度、赝矢量、赝标量这些耳熟能详的概念中，并且基于它们，进一步引入 Hodge 对偶的概念。Hodge 对偶以一种自然的方式将内积和外积联系在了一起。特别地，在三维流形上，它还可以诱导出叉积。我们每一次使用叉积和右手螺旋定则，我们都是在使用 Hodge 对偶。

第四章 流形上的导数

在第三章中，我们研究了外微分（或称外导数，因为其英文名是 exterior derivative）。在本章中，我们介绍另外两种导数，即协变导数和李导数。

协变导数与李导数都是一个张量场关于另一个切向量场的导数，即，它们都表示张量沿着另一个切向量的方向的变化。它们的区别在于，李导数依赖于另一个切向量场的邻域性质，而协变导数不依赖。但是，协变导数需要配备一个度规才能被唯一确定下来。

4.1 协变导数、联络（Covariant Derivative, Connection）

评论

虽然在 第 2.1 节 中我们定义了切空间，让流形上的矢量有了容身之所，但是我们还是无法直接比较两点的切矢量，因为点 p 处的切空间与点 q 处的切空间是两个不同的空间。

如果我们做不到这一点，后果是很严重的。想想经典力学中的加速度，为了定义它，我们需要比较 \(t\) 时刻和 \(t+\epsilon\) 时刻的速度，而这两个速度矢量存在于不同的切空间中。如果我们没办法比较这两个速度矢量，那么我们甚至无法定义加速度！

为了比较点 p 处的矢量和点 q 处的矢量，我们必须设法将点 p 处的矢量平移（parallel transport）到点 q 处。为了使该操作成为可能，我们需要一个联络（connection）。一个联络可以由一个 协变导数（covariant derivative） 来刻画。

之所以在欧几里德空间中我们没有注意到上述的问题，是因为欧几里德空间中有一个很自然的平移变换，自然到我们无法意识到每天都在使用它。

流形 \(M\) 上某一点 \(p\) 处的向量 \(u\) 沿着另一个向量 \(v\) 的协变导数记为 \(\nabla_v u\) ，它也是一个点 \(p\) 处的向量。它表示向量 \(u\) 沿着向量 \(v\) 的变化量。

其实，协变导数是作用在两个向量场上的： \(\nabla_W A\) ，它给出另一个向量场。对应到上文， \(u\) 属于向量场 \(A\) ， \(v\) 属于向量场 \(W\) 。

协变导数 \(\nabla_W\) 不仅可以作用在向量场 \(A\) 上，还可以推广到作用在一般的张量场上（包括标量场，因为标量场也是一种特殊的张量场）。现在我们给出协变导数的定义：

协变导数是这样一个映射 \(\mathcal{T}^m_n(M)\rightarrow \mathcal{T}^m_n(M)\) ，满足下列性质：

1. 线性： \( \nabla_W(\lambda A+\mu B) = \lambda \nabla_W A + \mu \nabla_W B \)
2. 对 \(W\) 的 \(\mathcal{F}\) -线性： \( \nabla_{V+fW} = \nabla_V + f\nabla_W \quad f\in\mathcal{F}(M) \)
3. 莱布尼茨律 \( \nabla_W(A\otimes B) = (\nabla_W A)\otimes B + A \otimes (\nabla_W B) \)
4. 与缩并运算对易 \( \nabla_W \circ C = C \circ \nabla_W \)
5. 对于标量场 \(f\) ， \(\nabla_W\) 作用到 \(f\) 上等同于 \(W\) 作用到 \(f\) 上（见 第 2.2 节）： \( \nabla_W f = Wf \)

现在，在表达式 \(\nabla_W A\) 中，令 \(W=e_k\)，其中 \(e_k\) 是一个坐标系的其中一个基所构成的向量场，然后令 \(A=e_j\)，其中 \(e_j\) 是坐标系的另外一个基所构成的向量场；那么，\(\nabla_{W}\) 作用到 \(A\) 上就可以写成 \(\nabla_{e_k}e_j\)，不妨将其简记为 \(\nabla_{k} e_j\)。由于 \(\nabla_{k} e_j\) 也是一个向量场，因此我们可以将它写成向量的线性组合：\(\nabla_{k} e_j = \Gamma^i_{jk}e_i.\)

\(\Gamma^i_{jk}\) 就是大名鼎鼎的 克氏符号（Christoffel symbol） 。我们有时候也称它为一个 线性联络（linear connection） 。

可以证明，\(\Gamma^i_{jk}\) 唯一确定一个协变导数。利用协变导数定义中的五个性质可以证明这一点，证略。

评论

现在停下来想一想 \(\Gamma^i_{jk}\) 三个下标分别的意思：\(k\) 代表沿第 \(k\) 个方向移动，\(j\) 表示我们在考虑第 \(j\) 个基的变化，\(i\) 代表变化量在第 \(i\) 个基上的分量。

注

可以证明，\(\Gamma^i_{jk}\) 并非一个张量。在数学上，一个张量的分量表示只是它的表象，在坐标变换下，张量本身是不变的，只是坐标变了。但是 \(\Gamma^i_{jk}\) 本身也会随着坐标系的变化而变化——它不满足张量的坐标变换规则。

但是有些作者认为，在给定了坐标系的意义下，可以说克氏符号是一个张量，或者说是“坐标系依赖的张量”。这样的说法不太严谨，因此本文不采用。

现在，我们讨论协变导数的计算方法。

对于切向量场 \(A^j\partial_j\)，由于我们已经知道 \(\nabla_k\partial_j = \Gamma^i_{jk} \partial_i\)，所以它的协变导数很容易计算：

例 4.1

计算切向量场 \(A = A^j\partial_j\) 的协变导数 \(\nabla_W A\)。

解：

\( \begin{aligned} \nabla_W A &= \nabla_{W^k\partial_k}(A^j\partial_j) \\ &\stackrel{2}{=} W^k \nabla_k (A^j\partial_j) \\ &\stackrel{3,4}{=} W^k (\nabla_k A^j \partial_j + A^j \nabla_k \partial_j ) \\ &\stackrel{5}{=} W^k (\partial_k A^j \partial_j + A^j \nabla_k \partial_j ) \\ &:= W^k (\partial_k A^j \partial_j + A^j \Gamma^l_{jk}\partial_l) \\ &= W^k (\partial_k A^l + A^j \Gamma^l_{jk}) \partial_l \end{aligned} \)

等号上的数字表示用到了哪一条性质。

可见，\(\nabla_W A\) 在 \(\partial_l\) 上的分量为：

\( (\nabla_W A)^l = W^k (\partial_k A^l + \Gamma_{jk}^l A^j) \)

从上式可以看出，协变导数 \(\nabla_W A\) 和对分量的导数 \(W^k\partial_k A\) 相差了一个克氏符号项。

计算了切向量场的协变导数之后，我们再来计算余切向量场 \(\alpha = \alpha_j\mathrm{d}x^j\) 的协变导数 \(\nabla_W \alpha\)。

我们下面先来计算 \(\nabla_k\) 作用到余切向量的一个基 \(\mathrm{d}x^j\) 上的表达式，即 \(\nabla_k \mathrm{d}x^j\) 的表达式。

例 4.2

计算 \(\nabla_k \mathrm{d}x^j\)。

解：

由于协变导数与张量缩并运算对易，且满足莱布尼茨律，所以

\( \nabla_k(\alpha(A)) = (\nabla_k\alpha)A + \alpha(\nabla_k A) \)

选取 \(\alpha = \mathrm{d}x^i\)，\(A=\partial_j\)，则有

\( \nabla_k(\mathrm{d}x^i(\partial_j)) = (\nabla_k \mathrm{d}x^i)\partial_j + \mathrm{d}x^i(\nabla_k \partial_j) \)

注意，在上式中，我们对 \((1,1)\) 型张量进行了缩并运算。因此等式左边的 \(\mathrm{d}x^i(\partial_j)\) 是一个常标量场（要么恒为 1，要么恒为 0），从而等式左边的 \( \nabla_k(\mathrm{d}x^i(\partial_j))\) 是一个零标量场。

移项（并考虑缩并运算）得

\( \nabla_k \mathrm{d}x^i = -\Gamma^i_{jk}\mathrm{d}x^j \)

进一步地，

\( \nabla_W \mathrm{d}x^i = -(\Gamma^i_{jk}W^k)\mathrm{d}x^j \)

对于一般的余切向量场 \(\alpha = \alpha_j\mathrm{d}x^j\)，其协变导数的推导留给读者练习。提示：仿照 例 4.1 的方法。

现在我们有了切向量场和余切向量场的协变导数。那么，对于一般的 \((p,q)\) 型张量，它的协变导数 \((\nabla_W A)^{i...j}_{k...l}\) 应该如何计算呢？这里我们直接给出公式。感兴趣的读者，可以利用 例 4.1 的方法和 例 4.2 的结果来自行推导：

例 4.3

计算张量 \(A\) 的协变导数 \((\nabla_W A)^{i...j}_{k...l}\)。

解（过程略）：

\( \begin{aligned} (\nabla_W A)^{i...j}_{k...l} & = W^{m} \partial_{m} A^{i...j}_{k...l} \\ & - \Gamma^{n}_{km} W^{m} A^{i...j}_{n...l} - \cdots - \Gamma^{n}_{lm} W^m A^{i...j}_{k...n} \\ & + \Gamma^{i}_{nm} W^{m} A^{n...j}_{k...l} + \cdots + \Gamma^{j}_{nm} W^m A^{i...n}_{k...l} \end{aligned} \)

4.2 黎曼-列维-奇维塔联络（Riemann-Levi-Civita Connection）

评论

到目前为止，给定一个流形，其上满足上述五个性质的协变导数有很多种。如何找到一个唯一的协变导数呢？

你可能马上就想到了度规。的确，如果没有度规，那么协变导数的选取是相当任意的。我们没有理由选取一个特殊的协变导数。或者说，我们没有理由选取一个特殊的联络 \(\Gamma^i_{jk}\)。

不过，实际上，为了诱导一个唯一的协变导数，我们不仅需要度规，还需要无挠性（torsion-free）。因此，我们下面先来介绍无挠性。

协变导数 \(\nabla\) 的无挠性定义如下：

如果 \(\nabla\) 满足上式，那么我们称 \(\nabla\) 是无挠的。

评论

\([V, W]\) 定义为 \([V, W]: [V, W]f = V(W(f))-W(V(f))\)

值得注意的是，一般而言 \(VW : VW(f)=V(W(f))\) 不是一个向量场。但是 \(VW-WV\) 的确是一个向量场，见第 4.8 节。

评论

虽然 \(\Gamma^i_{jk}: \nabla_k e_j = \Gamma^i_{jk} e_i \) 不是一个张量，但 \(T(V,W) := \nabla_V W - \nabla_W V - [V, W]\) 确实是一个张量，它叫做挠率张量（torsion tensor），证略。

对于每一个协变导数，我们都可以定义一个挠率张量。当挠率张量为零时，我们说该协变导数是无挠的。

可以证明，\(T(V,W)\) 在 \(e^i\) 下的分量为 \( T^{i}_{jk}=\Gamma^{i}_{kj}-\Gamma^{i}_{jk} \) 。令 \(T(V,W)\) 为零，我们就得到
\( \Gamma^i_{jk} = \Gamma^i_{kj} \)

协变导数的无挠性表现为 \( \Gamma^i_{jk} = \Gamma^i_{kj} \)。

评论

容易看出，\(T(V,W)\) 是一个反对称张量。令它为零，我们可以得到 \(n\cdot n(n-1)/2\) 个约束（对于三个指标 \(i,j,k\) 而言），其中 \(n\) 为流形的维数。

评论

无挠性还可以用如下方式定义：\(\nabla_a\nabla_b f=\nabla_b\nabla_a f\)，其中 \(f\in \mathcal{F}(M)\) 是一个标量场。这个定义与上文的定义等价。

加上无挠性之后，我们就限制了可能的协变导数的数量，但是我们还不能将其限制到一个。接下来我们考虑度规，从而将可能的协变导数限制到一个。

评论

为了将协变导数唯一确定下来，我们需要 \(n^3\) 个约束。上面我们已经得到了 \(n\cdot n(n-1)/2\) 个约束，接下来，我们还需要 \(n\cdot n(n+1)/2\) 个约束，它们是由度规不变性得到的。

我们现在要求，协变导数应该保度规（preserves metric），或者说满足度规不变性。这是因为我们希望一个矢量在沿着一条曲线平移时，它的长度应当不变。换言之，我们要求度规张量的协变导数为零：

例 4.4

推导无挠且保度规的协变导数的克氏符号。换言之，写出 \(\Gamma^i_{ij}\) 关于 \(g_{ij}\) 的表达式。

解：

根据 例 4.3，我们可以写出度规张量的协变导数：

\( \nabla_k g_{ij} = \partial_k g_{ij} - \Gamma^l_{ik}g_{lj} - \Gamma^l_{jk}g_{il} \)

我们现在定义 第一类克氏符号（Christoffel Symbol of the first kind） 为 \(\Gamma_{ijk} = g_{il}\Gamma^l_{jk}\)。之前介绍的克氏符号 \(\Gamma^{i}_{jk}\) 属于 第二类克氏符号（Christoffel Symbol of the second kind）。

定义了第一类克氏符号 \(\Gamma_{ijk}\) 之后，上式就可以写为：

\( \nabla_k g_{ij} = \partial_k g_{ij} - \Gamma_{jik} - \Gamma_{ijk} \)

令 \(\nabla_k g_{ij} = 0\)，则有

\( \partial_k g_{ij} = \Gamma_{ijk} + \Gamma_{jik} \)

又因为无挠性，我们有

\( \Gamma_{ijk} - \Gamma_{ikj} = 0 \)

综合以上两式，我们可以解出第一类克氏符号：

\( \Gamma_{ijk} = \frac{1}{2}(g_{ij,k} + g_{ik,j} - g_{jk,i}) \)

其中 \(g_{ij,k}:=\partial_k g_{ij}\)。由此，我们又可以得到第二类克氏符号：

\( \Gamma^i_{jk} = \frac{g^{il}}{2}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}) \)

可见，在给定无挠性和保度规性之后，协变导数可以被唯一确定下来。与该协变导数对应的联络 \(\Gamma^i_{ij}\) 叫做 黎曼联络（Riemann Connection） 或者 列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection） 。

由于涉及了三个人名，我们不妨干脆就叫它黎曼-列维-奇维塔联络，或者 RLC 联络，将三个人姓名的首字母都包含进去。注意，RLC 不是电阻、电感、电容的意思！

RLC 联络的表达式为 \( \Gamma^i_{jk} = \frac{g^{il}}{2}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l})\) 。

4.3 平移（Parallel Transport）

评论

在给定一个联络（协变导数）之后，我们就可以定义平移了。这也是我们定义联络的初衷：为了比较两处不同的点的矢量。

平移（Parallel Transport）定义如下：

给定 \(M\) 上的一条曲线 \(\gamma: [0,T] \rightarrow M\)，以及点 \(\gamma(0)\) 处的一个向量 \(V_0 \in T_{\gamma(0)}M\)，定义 \(V_0\) 沿着曲线 \(\gamma(t)\) 的平移 \(V(t)\) 为如下方程的解：

其中 \(t\in[0,T]\)，\(V(0)=V_0\)。

评论

协变导数表示向量的变化，而平移是希望向量在移动的过程中不发生变化，因此我们可以用“沿曲线的协变导数为零”来定义平移。

下面我们推导平移的坐标表达式。为此，我们需要将 \(\nabla_{\gamma^\prime(t)}V(t)\) 展开（参照 例 4.1 ）：

令 \(\nabla_{\gamma^\prime(t)}V(t) = 0\)，则有：

这就是平移的公式。它是一组关于 \(V^i\) 的一阶常微分方程。对其进行求解，既可得到向量 \(V\) 沿着曲线 \(\gamma\) 平移后的坐标分量。

4.4 测地线（Geodesics）

评论

回想一下牛顿第一定律。它说的是一个质点在不受到任何外部作用时，会保持它的速度不变。换句话说，它的加速度为零。

当这个质点处于我们所熟悉的欧式空间中时，由于欧式空间上有一个很自然的联络，我们可以很容易地对速度矢量进行平移。由这样的平移可以得出结论，该质点的运动轨迹是一条直线（或静止不动）。

但是，当我们处在一个一般的流形上时，情况变得不同：速度矢量的平移不再像欧式空间中那样的自然和平凡。因此，该质点的运动轨迹不再是欧式空间里的一条简单的直线。实际上，我们甚至没有定义流形上的“直线”是什么。

幸运的是，我们可以利用牛顿第一定律的思想来定义流形上的“直线”，并将其叫做测地线。具体来说，我们定义测地线是加速度为零的质点的运动轨迹。

不过在那之前，我们需要先定义加速度。

给定 \(M\) 上的一条曲线 \(\gamma: [0, T] \rightarrow M\)，它在点 \(\gamma(t)\) 处的加速度定义为：

其中 \(v(t):=\gamma^\prime(t)\) 为曲线在点 \(\gamma(t)\) 处的速度。

如果曲线的加速度处处为零，则称该曲线是一条测地线（geodesics），即有：

接下来，我们考察加速度的坐标表示：

令加速度等于零，我们得到：

这就是测地线方程（Geodesics Equation）。将 \(v^i\) 写成 \(\frac{\mathrm{d} \gamma^i}{\mathrm{d}t}\)，我们有

可见这是一组关于 \(\gamma(t)\) 的二阶常微分方程。对其进行求解，我们即可得到流形上的测地线的方程。

4.5 曲率（Curvature）

评论

一般来说，点 \(p\) 处的矢量通过不同的路径平移到点 \(q\) 处，结果是不同的，这个现象叫做 Holonomy，它引出了曲率的概念。见下图：

北极处的一个矢量先沿经线平移至赤道，接着沿赤道平移，最后沿经线平移回到北极，和初始状态不重合。

现在，让我们考虑一个沿坐标系的环路，如下所示：

点 p 处的矢量通过两条不同的路径平移到点 q 处，结果不同

如图所示，点 \(p\) 处的矢量通过两条不同的路径平移到点 \(q\) 处。这两条路径分别是：

1. 先改变 \(x_\nu\)，再改变 \(x_\mu\)；

2. 先改变 \(x_\mu\)，再改变 \(x_\nu\)。

将这条环路不断缩小，那么切矢量的一个基 \(e_\beta\) 通过这两条路径平移的结果的差值可以表示为：

\(\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu,\mu}\) 表示 \(\partial_\mu \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}\)。这是一个惯例，即用逗号 \(A_{,\alpha}\) 来表示关于分量的偏导 \(\partial_\alpha A\)。
有时候，我们还会用分号 \(A_{;\alpha}\) 来表示协变导数 \(\nabla_\alpha A\)。

令 \(R^{\alpha}_{\beta\mu\nu} = \Gamma^{\alpha}_{\beta\nu,\mu} - \Gamma^{\alpha}_{\beta\mu,\nu} + \Gamma^\lambda_{\beta\nu}\Gamma^{\alpha}_{\lambda\mu} - \Gamma^\lambda_{\beta\mu}\Gamma^{\alpha}_{\lambda\nu}\)，可以证明，\(R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}\) 是一个张量。我们称之为 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。

换言之，黎曼张量定义为：

评论

我们现在停下来想想黎曼曲率张量 \(R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}\) 的几何意义是什么。它表示第 \(\beta\) 个基通过两条不同的路径（先沿着 \(x_\mu\) 和先沿着 \(x_\nu\)）平移的结果的差值的第 \(\alpha\) 个分量。

根据黎曼曲率张量的定义，我们立即就能得到它的一个性质：\(R^\alpha_{\beta\mu\nu}\) = \(R^\alpha_{\beta\nu\mu}\)，利用这个性质，我们可以将 \(n^4\) 个独立分量约束到 \(n^3(n+1)/2\) 个。但是实际上，黎曼曲率张量还满足更多性质，这些性质可以将独立分量的个数约束到 \(n^2(n^2-1)/12\) 个。我们这里暂时就不介绍这些性质了，感兴趣的读者可以阅读相关教材。

接下来，我们可以定义 里奇张量（Ricci Tensor）：

里奇张量是黎曼曲率张量经过缩并得到的。至于 \(\alpha\) 为什么和 \(\mu\) 缩并，而不是和 \(\nu\) 缩并，是因为这两者只相差了一个负号，和 \(\mu\) 或 \(\nu\) 缩并都可以。

而如果让 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 缩并，则会得到零，证略。

里奇张量是一个对称张量：\(R_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}\)，证略。

最后，我们可以通过度规来得到里奇标量（Ricci curvature），或称标量曲率（scalar curvature）：

4.6 广义相对论简介（Introduction to General Relativity）

广义相对论的核心——爱因斯坦场方程（Einstein Field Equations），给出了时空的曲率和物质运动之间的关系。前者描述时空如何弯曲，后者描述时空中能量和动量的演化。

定义爱因斯坦张量 \(G_{\mu\nu} := R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}\)。则爱因斯坦场方程可以写成：

其中 \(T_{\mu\nu}\) 叫做能动张量（Energy-Momentum Tensor）。

我们来解释一下能动张量，它有 16 个分量：

其中 \(T_{tt}\) 代表能量密度，\((T_{tx}, T_{ty}, T_{tz})\) 代表动量密度，而

代表应力张量。特别地，对角元 \(T_{xx},T_{yy},T_{zz}\) 分别代表三个方向上的压力。

评论

在爱因斯坦场方程 \(G_{ab} = 8\pi T_{ab}\)（自然单位制）中，等式左边描述了时空如何弯曲，等式右边描述了物质如何演化。

就像麦克斯韦方程是电动力学的基本假设一样，爱因斯坦场方程也是广义相对论的基本假设，它不能从其他的式子中推导出来。

如果我们认为电动力学=麦克斯韦方程+求解+应用，那么我们在某种程度上也可以说广义相对论=爱因斯坦场方程+求解+应用。

例 4.5 施瓦西度规和施瓦西黑洞

施瓦西度规描述了一个无电荷、无角动量、且质量为 \(M\) 的球体的周围的时空：

\( \left\{\begin{aligned} g_{tt} &= - (c^2 - \frac{2GM}{r}) \\ g_{rr} &= \frac{1}{1-\frac{2GM}{rc^2}} \\ g_{\theta\theta} &= r^2 \\ g_{\varphi\varphi} &= r^2 \sin^2 \theta \\ g_{\text{otherwise}} &= 0 \end{aligned}\right. \)

它是爱因斯坦场方程的第一个非平凡的精确解。注意到 \(r=\frac{2GM}{c^2}\) 是度规的一个奇点。当然，由于施瓦西度规只适用于球体外的时空，当球体的半径 \(R>\frac{2GM}{c^2}\) 时，这不是一个问题。

然而，如果球体的半径 \(R<\frac{2GM}{c^2}\)，那么该球体外的一个物体就有可能经过 \(r=\frac{2GM}{c^2}\)。

而且，当 \(r<\frac{2GM}{c^2}\) 时，\(g_{rr}\) 由正变为负，\(g_{tt}\) 由负变为正，换言之，\(r\) 变成了一个类时坐标，这意味着在某种程度上，径向的空间维度变成了一个时间维度：落入中心将成为不可避免的未来。

因此当 \(R<\frac{2GM}{c^2}\) 时，球体会坍缩为一个很小的点（在广义相对论的模型中）。这就是常说的施瓦西黑洞。\(r=\frac{2GM}{c^2}\) 处的球面叫做事件视界。

施瓦西解的求解过程过于冗长，本文就不介绍了。

4.7 拉回映射、推前映射（Pull-back, Push-Forward）

评论

拉回映射和推前映射是非常有用的概念。它们在以后要介绍的许多概念中都要被用到。因此单独用一节来介绍它们是很值得的。

让我们现在考虑一个从流形 \(M\) 到流形 \(N\) 的一个光滑映射 \(\phi: M\rightarrow N\)。如果 \(N\) 上有一个标量场 \(f\)，那么借助 \(\phi\)，我们可以诱导出一个 \(M\) 上的标量场：

其中 \(\phi^*\) 叫做拉回（pull-back），顾名思义，它将 \(f\) 的定义域从 \(N\) 上“拉回”到 \(M\) 上。

评论

有一点需要注意，我们现在并没有假定 \(\phi\) 是一个双射。实际上，\(\phi\) 既不一定是单射，也不一定是满射。到目前为止，我们对 \(\phi\) 的唯一要求就是它是光滑的。

现在，我们可以停下来思考一下，给定 \(M\) 上的一个标量场，能否借助 \(\phi\) 将其“推前”到 \(N\) 上？答案是否定的，因为 \(\phi\) 不一定是单射，也就是说 \(M\) 上的多个点可能被映射到 \(N\) 上的同一个点。因此，如果没有单射性的保证，那么我们就无法定义标量场的“推前”。

当然，我们现在可以直接假定 \(\phi\) 是一个微分同胚，然后我们就可以很开心的定义推前了。但在那之前，我们先来看看怎么定义切向量、余切向量乃至张量的推前和拉回。请耐心一点，因为我们想知道当 \(\phi\) 不是双射的时候会有什么样的结果。

现在，我们考虑切向量的 “推前”（push-forward）。借助标量场的拉回，我们可以定义某一点处的切向量的推前：

选读 4.1

用切向量的另一种定义方式——曲线的等价类——也可以定义推前。考虑 \(M\) 上一条经过点 \(p\) 的曲线 \(\gamma\)，这条曲线被 \(\phi\) 映射成 \(N\) 上一条经过点 \(\phi(p)\) 的曲线 \(\phi \circ \gamma\)。现在，我们希望 \(M\) 上与曲线 \(\gamma\) 于点 \(p\) 处相切的那个向量，被 \(\phi\) 推前到 \(N\) 之后，同样在点 \(\phi(p)\) 处与 \(\phi \circ \gamma\) 相切。回想一下点 \(p\) 处的切向量也可以被定义为曲线的等价类 \([\gamma]\)，即在点 \(p\) 处的导数相同的所有曲线。于是我们可以定义推前映射如下：

\( \phi_*[\gamma] := [\phi \circ \gamma] \)

用人话来讲，就是曲线的切向量被推前为曲线的切向量。

评论

由于 \(\phi\) 不一定是单射，也不一定是满射，所以我们目前也还没有办法定义向量场的推前，而是只能定义某一点的向量的推前。这是因为：

a. 如果 \(\phi\) 不是满射，那么 \(M\) 上的向量只能被推前到 \(N\) 上的 \(\phi\) 的像的部分，即 \(N\) 上的向量场只在 \(\mathrm{Im}(\phi)\) 部分有定义。
b. 如果 \(\phi\) 不是单射，那么 \(M\) 上两个不同的点处的向量会被推前到 \(N\) 上的同一点，这两个向量并不一定是相等的。

评论

刚才，我们借助标量的拉回，定义了切向量的推前。接下来，我们借助切向量的推前，来定义余切向量的拉回。

现在，我们考虑余切向量的拉回。借助切向量的推前，我们可以定义余切向量场的拉回：

评论

注意到在这个定义中，我们不仅可以定义某一点处的余切向量的拉回，还可以对流形 \(N\) 上的所有余切向量定义。换言之，即使在 \(\phi\) 不是微分同胚的情况下，我们也可以定义余切向量场的拉回。

这看起来很奇妙，但仔细一想是非常合理的：如果我们能拉回一个标量场，那么我们应当也能拉回该标量场的微分，而微分就是一个余切向量场。

以同样的道理，我们可以定义 \((0,n)\) 型张量场的拉回：

评论

到目前为止，我们定义了标量场的拉回、切向量（注意，不是切向量场）的推前、余切向量场的拉回、和 \((0,n)\) 型张量场的拉回。接下来，我们定义 \((l,0)\) 型张量（注意，不是张量场）的推前。

现在，我们定义某一点处的 \((m,0)\) 型张量的推前：

评论

之所以对于切向量和 \((m,0)\) 型张量，我们无法定义“场”的推前，还是因为之前提到过的原因，即 \(\phi\) 不一定是双射。

如果 \(\phi\) 不是双射（微分同胚），这就是我们能做到的最好了。因此接下来我们来附加一个额外条件，即 \(\phi\) 是一个微分同胚。此时，我们可以定义任何类型的张量场的拉回与推前。

现在，我们将 \(\phi\) 从一个从 \(M\) 到 \(N\) 光滑映射升级为一个从 \(M\) 到 \(N\) 的微分同胚。这样，我们就可以定义切向量场和 \((m,0)\) 型张量场的推前了：

不仅如此，我们还可以定义 \((m,0)\) 型张量场的拉回，这是因为我们可以将 \(M\) 和 \(N\) 的角色互换：借助 \(\phi\) 的拉回可以看作借助 \(\phi^{-1}\) 的推前，即 \(\phi^*=(\phi^{-1})_*\)：

基于此，我们可以定义 \((m,n)\) 型张量场的拉回：

\((m,n)\) 型张量场的推前，只需要将 \(\phi^*=(\phi^{-1})_{*}\) 代入上式即可得到：

最后，请读者自行推导拉回映射和推前映射的显式计算公式。与例 2.6类似，结果中包含雅可比矩阵。

4.8 李导数（Lie Derivative）

评论

现在，对于协变导数的介绍已经告一段落。接下来，我们介绍另一种导数，叫做李导数。不过在那之前，我们还要介绍其他一些概念。

我们先来定义 积分曲线（integral curve）。给定一个切向量场，它的积分曲线是这样一条曲线，它在每一点的导数都等于该点处的切向量。

我们常说的电场线，就是电场的积分曲线。

无数条积分曲线很像一条河流。如果我们“随波逐流”，我们就会从流形上的一点“漂流”到另一点：

\(\Phi_t\) 是一个微分同胚，证略。我们可以把 \(\Phi_t\) 叫做一个“流”。

既然每一点都会随着积分曲线漂流到另一点，那么每一点处的张量也会随着点的流动而流动。这个想法应该怎么表达呢？上一节介绍的拉回映射此时就派上用场了：

\(\Phi^*_t\) 可以叫做李平移（Lie Transport）。注意到由于它是拉回映射，所以它的方向是逆着流的方向的。如果我们想要表达顺着流的方向，我们可以使用 \(\Phi^*_{-t}\)。

现在你可能已经猜到我们要怎么定义李导数了：即让 \(t\rightarrow 0\)：

其中 \(T \in \mathcal{T}^p_q(M)\) 是一个张量场。

可以证明，\(\mathcal{L}_V\) 满足如下性质：

a. 导子

提示：证明 \(\phi^*(A \otimes B) = (\phi^* A) \otimes (\phi^* B)\)，然后利用李导数的定义。
注意，这里的 \(\mu\) 和 \(\lambda\) 指的是常数而非标量场。

b. 与缩并可交换

提示：先证明拉回映射与缩并可交换，然后利用李导数的定义

c.

特别地，

提示：先证明 \(\phi^*(A(W,\cdots;\alpha,\cdots))=(\phi^*A)(\phi^*W,\cdots;\phi^*\alpha,\cdots)\)，然后利用李导数的定义

上面是一些比较通用的性质。下面我们来看看一个李导数作用到具体的标量场、切向量场、余切向量场和一般的张量场之后会发生什么。

例 4.6
证明李导数作用到标量场上，有：
\( \mathcal{L}_V f = V f = V^i f_{,i} \)
其中逗号下标表示求偏导。即 \(f_{,i}=\frac{\partial f}{\partial x^i}\)
提示：利用拉回映射的定义和李导数的定义。

例 4.7
证明李导数作用到标量场的微分（余切向量场）上，有：
\( \mathcal{L}_V(\mathrm{d} f) = \mathrm{d}(\mathcal{L}_V f) = \mathrm{d}(V f) \)
提示：利用拉回映射在切向量场上的定义，证明拉回映射和微分算子可交换，即 \(\mathrm{d} \phi^* = \phi^* \mathrm{d}\)。

例 4.8
证明李导数作用到余切基向量上，有：
\( \mathcal{L}_V (\mathrm{d} x^i) = \mathrm{d}(V^i) = V^i_{,j} \mathrm{d}x^j \)
提示：将 \(f=x^i\) 代入 例 4.7

例 4.9
证明李导数作用到一般的余切向量场上，有：
\(\mathcal{L}_{V} \alpha = \left[V^j(\partial_j\alpha_i) + (\partial_i V^j) \alpha_j \right]\mathrm{d} x^i \)
提示：将 \(\alpha = \alpha_i\mathrm{d}x^i\) 看成是标量场和微分 \(\mathrm{d}x\) 的张量积，即 \(\alpha = \alpha_i \otimes \mathrm{d}x^i\)，然后利用李导数的导子性。

例 4.10
证明李导数作用到切向量基上，有：
\( \mathcal{L}_V \partial_i = -V^j_{,i}\partial_{j} \)
提示：参照例 4.2的方法。

例 4.11
对于一般的张量场，求李导数的公式如下：
\( \begin{aligned} (\mathcal{L}_V A)^{i...j}_{k...l} &= V^m A^{i...j}_{k...l,m} + \\ &+ V^m_{,k} A^{i...j}_{m...l} + \cdots + V^m_{,l} A^{i...j}_{k...m} \\ &+ V^i_{,m}A^{m...j}_{k...l} + \cdots + V^j_{,m} A^{i...m}_{k...l} \end{aligned} \)
利用 例 4.8,10 的结果和 例 4.9 介绍的方法，读者可以自行完成推导。

你可能感觉 例 4.11 的公式很眼熟。没错，推导李导数的显式公式的步骤，和推导协变导数的显式公式的步骤（例 4.3）几乎是一样的。两个公式长得也很像。下面我们把它们放在一起比较一下：

李导数：

\( \begin{aligned} (\mathcal{L}_V A)^{i...j}_{k...l} &= V^m A^{i...j}_{k...l,m} + \\ &+ V^m_{,k} A^{i...j}_{m...l} + \cdots + V^m_{,l} A^{i...j}_{k...m} \\ &- V^i_{,m}A^{m...j}_{k...l} + \cdots - V^j_{,m} A^{i...m}_{k...l} \end{aligned} \)

协变导数：

\( \begin{aligned} (\nabla_W A)^{i...j}_{k...l} & = W^{m} \partial_{m} A^{i...j}_{k...l} \\ & - \Gamma^{n}_{km} W^{m} A^{i...j}_{n...l} - \cdots - \Gamma^{n}_{lm} W^m A^{i...j}_{k...n} \\ & + \Gamma^{i}_{nm} W^{m} A^{n...j}_{k...l} + \cdots + \Gamma^{j}_{nm} W^m A^{i...n}_{k...l} \end{aligned} \)

我们现在来说明李导数与李代数的关系。

例 4.12
证明 \(\mathcal{L}_V W = [V, W] := VW - WV\)
提示：利用例 4.11

一般来说，\(V\) 和 \(W\) 的“积”（即 \(VW:f\mapsto V(Wf)\)） 不是一个向量场，但是通过 例 4.12 我们发现，\(VW-WV\) 的确是一个向量场。换句话说，一阶求导算子的“积”不是一阶求导算子，但它们的对易子竟然是！

可以证明，全体向量场的集合，配备上一个二元运算 \([\cdot, \cdot]\) ，可以构成一个李代数，即满足如下关系：

a. \([V,W]=-[W,V]\)

b. \([\mu V_1+\lambda V_2, W] = \mu [V_1, W] + \lambda [V_2, W]\)

c. \(0 = [[V,W],U] + [[U,V],W] + [[W,U],V]\)

评论

最后，我们用李导数来重新定义一下散度。在第 3.5 节我们定义散度为

\(\operatorname{div} F := \star \mathrm{d} \star \flat F \)

在学习了李导数之后，我们可以给散度一个更漂亮的定义：

\( \mathcal{L}_V \omega_g =: (\operatorname{div} V)\omega_g \)

其中 \(\omega_g\) 是一个在度量 \(g\) 下，体积为 1 的体积形式。体积形式指的是 n 维可定向流形上的 n-form。

可以证明，这两个定义是等价的。

利用李导数定义散度，其几何意义就变得非常的直观：如果我们让流形上的一小块体积随着向量场的积分曲线流动一小段距离，这一小块体积的缩放比率就是该向量场的散度。

4.9 [V,W] 的几何意义、和乐（Holonomy）

在 第 4.5 节 中，我们通过考察一个张量先沿着坐标线 \(\mu\) 平移再沿着坐标线 \(\nu\) 平移很短一段距离，和先沿着 \(\nu\) 再沿着 \(\mu\) 平移很短一段距离，有什么区别。通过这种方法，我们导出了黎曼张量。这是针对协变导数而言的。

我们现在想要知道，对于李导数而言，一个点先沿着向量场 \(V\) 流动，再沿着向量场 \(W\) 流动很短一段距离，和先沿着 \(V\) 再沿着 \(W\) 流动很短一段距离有什么区别。这就引出了和乐（Holonomy）的概念。

为了研究交换流动顺序的区别，我们先来想办法对短距离的流动做一个近似。首先，很容易证明 \(\Phi^*_t = 1 + t \mathcal{L}_V + o(t)\)。那么，我们能不能把这个近似逼近到更高的阶数？答案是可以的。

例 4.13 李导数的指数

证明 \(\Phi^*_t = e^{t\mathcal{L}_V} = 1 + t\mathcal{L}_V + \frac{t^2}{2}\mathcal{L}_V\mathcal{L}_V + \cdots\)。

提示：利用 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Phi^*_t=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\right|_{s=0}\Phi^*_{t+s} \) ，证明 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\Phi^*_t=\Phi^*_t\mathcal{L}_V\)

下面，我们再考察算子的指数有什么样的性质：

例 4.14 算子的矩阵

证明 \(e^{A+B}\neq e^A e^B\)，且

\( e^{tA}e^{tB}-e^{t(A+B)} = \frac{t^2}{2}[A,B] + o(t^2) \)

于是

\( e^{-tA}e^{-tB}e^{tA}e^{tB} = 1 + t^2[A,B] + o(t^2) \)

提示：直接展开算。

根据 例 4.13-14，我们会发现，当精确到二阶的时候，一个点先沿着向量场 \(V\) 流动，再沿着向量场 \(W\) 流动很短一段距离，和先沿着 \(V\) 再沿着 \(W\) 流动很短一段距离的差，可以用 \([V,W]\) 来刻画，即有

为了流动一圈后能回到原来的位置，我们需要补上最后一小段距离，见下图：

[V,W] 的几何意义

可见 \([V,W]\) 的几何意义。

如果坐标系的对易子 \([e^i, e^j] = 0\)，则称这是一个和乐的（Holonomic）坐标系，否则是 Non-holonomic 的坐标系。一个 Non-holonomic 的坐标系不能被表示为沿坐标线的求导。这是因为沿坐标线的求导满足 \([\partial^i, \partial^j]=0\)，一定是和乐的。

评论

借助这一套语言，我们给出在第 4.5 节中定义的曲率张量的另外一种更好的定义：

考虑上图的环路，让张量沿着这一条环路平移，回到原点。可以证明，该平移算子可以被表示为：

\( \tau_{A\rightarrow B\rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow A} = 1 - \epsilon^2 R(V,W) \)

其中

\( R(V,W) := \nabla_V\nabla_W - \nabla_W\nabla_V - \nabla_{[U,V]} \)

就是黎曼曲率张量。

4.10 Killing 向量场（Killing Vector Field）

在 第 4.2 节 中，我们对协变导数提出了保度规的要求，从而对其进行了一定的约束。再加上无挠性的约束，就唯一确定了一个联络，称为 RLC 联络。

那么，对于李导数，我们可不可以也做出这样的约束呢？答案是，这样做会产生“过度约束”，即给定一个度规，我们不能保证存在一个李导数，使得该李导数保度规。满足这种性质的李导数所对应的向量场叫做 Killing 向量场。记一个 Killing 向量场为 \(\xi\)，它满足 Killing 方程：

根据例 4.11，其分量形式为：

由于 \(g_{ij}=g_{ji}\)，所以 Killing 方程组共有 \(n(n+1)/2\) 个方程。然而，自由变量只有 \(n\) 个（即 \(\xi^k, k=1,...,n\)），所以这是一个“过度约束”的方程组，并不能保证有解。

例 4.15 求欧式空间 \(\mathbb{R}^2\) 的 Killing 向量场。

解为 \(e_1=\partial_x, e_2=\partial_y, e_3=-y\partial_x + x\partial_y\)

另外，如果只要求“共形”（conformal），即保角性，那么只需要满足下式即可：

上式叫做共形 Killing 方程。

小结

在本章中，我们引入两种导数，即协变导数和李导数。协变导数描述了流形上的联络，并可以用来定义平移、测地线和曲率。基于这些概念，我们就可以简要介绍广义相对论；

李导数描述了流形上向量场的“流动”，它引出了 Holonomy 和 Killing 向量场，前者刻画流动是否与路径相关，后者刻画流动是否具有度规不变性。用李导数我们可以更加优雅地定义曲率、挠率、散度等概念。另外，它还与李群和李代数有关，不过本文暂不介绍。

第五章 流形上的积分

在第三章中，我们研究了流形上的微分形式。在本章中，我们研究如何在流形上对微分形式进行积分。

首先，我们定义积分的“区域”是什么。例如，在初等微积分中，我们既可以在曲线上积分，也可以在曲面上积分。这些“区域”在流形上的推广就是胞腔、单形和链。基于它们，我们还可以定义边界算子。

其次，我们给出微分形式的积分的一个定义，然后介绍大名鼎鼎的斯托克斯定理。这个定理给出了边界算子和外微分算子之间的关系。

最后，既然已经介绍了边界算子、外微分算子、以及斯托克斯定理，那么我们就不得不提到同调和上同调。同调和上同调理论将以上所有概念都以一种不可思议的方式联系在了一起，并用它们来处理流形上的“孔洞”。

5.1 胞腔、单形、链（Cell, Simplex, Chain）

一个 m 维胞腔（m-cell） \(\sigma\) ，指的是 n 维流形上的一个参数化（parameterized）的 m 维区域，是 \(\phi:[0,1]^m\rightarrow M\) 这个映射的像 \(\sigma=\mathrm{Im}(\phi)\) 。

也可以这么理解：一个 m-cell 为流形 \(M\) 上的一个 m 维区域中的每个点分配一个参数： \(\bm{u}\in[0,1]^m\) 。

我们说这个 m 维区域是镶嵌（embedded）到 n 维流形中的。或者说它是 n 维流形上的一个 m 维超曲面。

例 5.1

某流形上的一个点是一个 0-cell。0-cell 是一种特殊情况，它所代表的区域就仅仅是一个点。

2 维球面 \(S^2\) 上的一条曲线是一个 1-cell（你可以想象地球仪上的北纬 30 度线）。我们为这条线上的每一个点分配一个参数 \([0,1]\rightarrow S^2\) 。显然，并非每个点对应唯一的一个参数。如果这条曲线与自己相交，那么相交的点会对应两个不同的参数 \(u_1\neq u_2\in [0,1]\) 。

流形 \(M=\mathbb{R}^3\) 中的一个曲面是一个 2-cell。我们为这个曲面上的每一个点分配一组参数 \([0,1]\times[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^3\) 。
更具体地，考虑一个第一象限中的 1/8 单位球面，我们可以这样分配参数： \(\phi:[0,1]^2\rightarrow\mathbb{R}^3\) ，使得 \(\phi(u,v)\rightarrow \left(\cos(\frac{\pi}{2} u)\sin(\frac{\pi}{2} v), \sin(\frac{\pi}{2} u)\sin(\frac{\pi}{2} v), \cos(\frac{\pi}{2} v)\right)\) 。

评论

在第 1.8 节中，我们已经为流形 \(M\) 指定好了一系列开覆盖和坐标系（Atlas）。现在我们所说的“参数”与当时说的“坐标”是两个不同的概念。“参数”指的是为嵌入在 n 维流形中的一个 m 维曲面上的点分配的，而“坐标”是为流形本身所有的点分配的。

在上例中，我们可以用 \(u\) 和 \(v\) 这两个参数来表示 1/8 单位球面上的点。但是对于例子中的 \(\mathbb{R}^3\) 这个流形，我们本身就有一个很自然的坐标 \(\mathrm{id}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\) ，它是一个恒等映射。

还有一种参数化的方式，叫做 m 维单形（m-simplex, pl. m-simplices）。与 m 维胞腔使用的矩形区域 \([0,1]^m\) 不同，它使用的是三角形区域 \(\{(\theta_0,\theta_1,\cdots,\theta_m)\mid\sum_i\theta_i=1,\, \theta_i\ge 0\}\) 。这个三角形区域叫做 \(\mathbb{R}^m\) 中的标准单形。它关于 \(\varphi\) 在流形上的像，就是流形上的一个 m-simplex。

评论

从计算积分的角度来说，m-cells 更方便一些，但是在考虑拓扑与几何性质的时候，m-simplex 更方便一些。例如，我们可以对一个流形进行三角化（Triangulation），这往往比考虑矩形要方便得多，如下所示：

Triangulation

一个 m-链（m-chain）指的是一系列 m-cells（或 m-simplices）的线性组合：

m-chain 的集合记作 \(C_m(M)\) 。

评论

你可能现在很好奇 \(c=\sum_i m_i\sigma_i\) 究竟指的是什么，即，把两个 m-cells 加在一起到底是什么意思？别着急，我们会在第 5.3 节介绍这个线性组合的意义。现在你只需要把它当作一种“形式上”的线性组合（formal linear combination）。

另外，注意到线性组合的系数只能是整数，这使得 \(C_m(M)\) 并不构成一个向量空间，而是构成一个模（Module）。模和向量空间的区别在于模的数乘运算是 \(R\times V \rightarrow V\)，而不是 \(F \times V \rightarrow V\)，其中 \(R\) 代表一个环，\(F\) 代表一个域。由于整数集不构成域，而是只能构成环，因此 \(C_m(M)\) 是一个模。

5.2 边界算子（Boundary Operator）

评论

现在我们来考虑如何定义一块区域的边界。有了胞腔/单形和链的概念之后，我们就可以来形式化地定义“边界”。

一个 (m+1)-cell ，也就是 \(\phi: [0,1]^{m+1} \rightarrow M\) 的像 \(\sigma = \mathrm{Im}(\phi)\) 。它的边界 \(\partial \sigma\) 定义为下述的 m-chain ：

一个 m-chain（\(c_i\sigma_i\)）的边界定义为

我们将 \(\partial: C_{m+1}(M)\rightarrow C_{m}(M)\) 称为边界算子。

例 5.2

一个 1-cell（一条曲线）\(\phi: [0,1]\rightarrow M\) 的边界是一个 0-chain： \(\phi(1) - \phi(0)\)。

这里 \(\phi(1) - \phi(0)\) 是抽象意义上的两个点（0-cell）的线性组合。

特别地，如果这条曲线（1-cell）首尾相接，即 \(\phi(1)=\phi(0)\)，则它的边界为零。

可见，当我们说一个首尾相接的曲线没有“边界”时，我们实际上是在说它的边界为零。

例 5.3

考虑流形 \(\mathbb{R}^2\) 上的一个 2-cell：\(\phi: [0,1]\times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2\)，\(\phi(r,\theta) = (r\cos \theta, r\sin \theta)\)。它实际上是第一象限中的 1/4 圆。

该 2-cell 的边界是如下的 1-chain:

\( (\phi(1,\theta)-\phi(0,\theta)) - (\phi(r,1) - \phi(r,0)) \)

可以看出，这四个 1-cell 分别对应 1/4 圆弧、原点、\(y\) 方向上的半径和 \(x\) 方向上的半径，它们的确构成了这个 1/4 圆盘的“边界”。如果我们把正负号解读为方向，我们还可以得到一个有方向的环路。

用单形（simplex）的语言也可以定义边界。如果将一个 m-simplex 记作

其中 \(p_0, \cdots, p_m\) 代表单形的顶点（即标准单形的顶点的像）；那么该 m-simplex 的边界是下述的 (m-1)-simplex：

可见，m-cell 和 m-simplex 是两套平行的语言。

与外微分算子类似，边界算子作用两次之后也会得到零：

定理 5.1

\(\partial\partial=0\) 。证略。

5.3 微分形式的积分（Integration of Differential Forms）

评论

当我们对一个微分形式进行积分的时候，我们总是要指定一个积分的“区域”。这个“区域”就是我们在第 5.1 节中介绍的 m-cells / m-chains。

回想一下，一个 m-cell，记为 \(\sigma\) ，是 \(\phi:[0,1]^m\rightarrow M\) 这个映射的像 \(\mathrm{Im}(\phi)\) ，它其实就是 \(n\) 维流形上的一个 \(m\) 维超曲面。接下来我们定义微分形式在一个 m-cell 上的积分。

在微分几何中，积分的定义涉及到拉回映射（见第 4.7 节）的概念。具体来说，\(\omega\) 在 \(\sigma\) 上的积分定义为 \(\phi^*\omega\) 在 \([0,1]^m\) 上的重积分。其中 \(\phi^*\omega\) 表示 \(\phi\) 这个映射将 \(\omega\) 从流形上的区域 \(\sigma\) 拉回到 \(\mathbb{R}^m\) 中的区域 \([0,1]^m\subseteq \mathbb{R}^m\) 。也就是说 \(\phi^*\omega\) 是 \(\mathbb{R}^m\) 上的一个微分形式。

现在，我们将以上的关系总结为数学语言：

其中 \(\phi[D]\) 代表一个 m-cell 或者一个 m-simplex。这取决于你使用胞腔的语言还是单形的语言。例如，如果是胞腔，那么 \(D\) 代表一个矩形区域 \([0,1]^m \in \mathbb{R}^m\)。

评论

由于微分形式可以看成一个反对称的 \((0,q)\) 型张量场，因此我们在第 4.7 节中介绍的拉回映射完全可以作用到一个微分形式上。

现在，我们给出微分形式在一个 m-cell 上的积分的显式公式。

根据 第 3.3 节 末，我们可以记一个微分形式 \(\omega\) 为：

为了确定起见，我们可以规定 \((i_1, \cdots, i_m)\) 是 \((1, \cdots, m)\) 的偶置换。

那么 \(\omega\) 在 \(\sigma\) 上的积分可以显式写成：

\[ \begin{aligned} \int_\sigma \omega=\int_{[0,1]^m}\sum_{i_1<\cdots其中 \((u^1,\cdots,u^m)\in[0,1]^m\) ；\(\frac{\partial(x^{i_1},\cdots,x^{i_m})}{\partial(u^1,\cdots,u^m)}\) 是雅可比行列式：

\[\begin{aligned} \frac{\partial(x^{i_1},\cdots,x^{i_m})}{\partial(u^1,\cdots,u^m)} := \begin{vmatrix} \frac{\partial x^{i_1}}{\partial u^1} & \cdots & \frac{\partial x^{i_1}}{\partial u^m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x^{i_m}}{\partial u^1} & \cdots & \frac{\partial x^{i_m}}{\partial u^m} \end{vmatrix} \end{aligned}\]

注意，等式右边就是一个普通的重积分，而重积分在我们学习初等微积分时已经有过完善的讨论，因此不再赘述。

评论

为了从定义出发得到积分的显式关系式，我们需要花一些精力计算。

具体来说，我们首先需要回想一下第 4.7 节介绍的 \((0,n)\) 型张量场的拉回：

\( \begin{aligned} \phi^*: \mathcal{T}^0_l(N) &\rightarrow \mathcal{T}^0_l(M) \\ \phi^*T(v^1|_p, \cdots, v^n|_p) &:= T((\phi_* v^1)|_{\phi(p)}, \cdots, (\phi_* v^n)|_{\phi(p)}) \end{aligned} \)

并且导出它的显式形式：

\( \phi^*(\mathrm{d}y^k \otimes \cdots \otimes \mathrm{d}y^l) = J^k_i \cdots J^l_j \mathrm{d}x^i \otimes \cdots \otimes \mathrm{d} x^j \)

其次，我们需要证明，对于一个 \(n \times n\) 矩阵 \(A\)，它的行列式满足：

\( \operatorname{det} A = \epsilon_{k...l} A^k_1 \cdots A^l_n \)

其中 \(\epsilon\) 是广义 Levi-Citiva 符号，\(\epsilon_{12...n} = 1\) ，且交换两个下标，符号相反。其实这只不过是行列式的通常定义的另一种写法。

最后，我们就能导出微分形式的拉回的公式：

\( \begin{aligned} \phi^*(\mathrm{d}x^{i_1}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^{i_m}) &= \phi^* \left(\frac{1}{p!} \epsilon_{i_1...i_m} \mathrm{d}x^{i_1}\otimes\cdots\otimes\mathrm{d}x^{i_m}\right)\\ &= \frac{1}{p!} \epsilon_{i_1...i_m}J^{i_1}_{1} \cdots J^{i_m}_{m} \mathrm{d}u^1 \otimes \cdots \otimes \mathrm{d}u^m \\ &= \epsilon_{i_1...i_m} J^{i_1}_{1} \cdots J^{i_m}_{m} \mathrm{d}u^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}u^m \\ &= (\operatorname{det} J) \mathrm{d}u^1 \wedge \cdots \wedge \mathrm{d}u^m \end{aligned} \)

其中 \(\operatorname{det} J\) 就是雅可比矩阵的行列式，或简称雅可比行列式。

根据上式我们就能导出正文中的公式了。

评论

现在我们定义好了微分形式在 m-cells 上的积分。接下来我们定义微分形式在 m-chain 上的积分。

一个 \(m\) 阶微分形式 \(\omega\) 在一个 m-chain（ \(c=\sum_i c_i\sigma_i\) ）上的积分定义如下：

\[ \begin{aligned} \int_c\omega=\sum_i c_i\int_{\sigma_i}\omega \end{aligned} \]

其中 \(\sigma_i\) 是一个 m-cell。

5.4 斯托克斯定理（Stokes’ Theorem）

有了前几节的概念的铺垫之后，我们现在就可以来介绍大名鼎鼎的斯托克斯定理了。

斯托克斯定理

给定一个 (m+1)-chain：\(c\in C_{m+1}\) 和一个 m 阶微分形式： \(\alpha \in \bigwedge^m(T^*M)\)，有

\[\begin{aligned} \int_c \mathrm{d} \alpha = \int_{\partial c} \alpha \end{aligned}\]

下面我们看看斯托克斯定理如何退化为我们熟悉的形式。

例 5.4 微积分基本定理

\( \int_a^b f^\prime(x)\mathrm{d}x = f(b) - f(a) \)

在斯托克斯定理中，取 \(M=\mathbb{R}^1\)，\(c = [a,b]\) 即可得到。

例 5.5 格林定理

\( \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_{\partial D} (P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y) \)

在斯托克斯定理中，取 \(M=\mathbb{R}^2\)，\(c = D\)，\(\alpha = P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\) 即可得到。

例 5.6 高斯定理

\(\begin{aligned} \int_{D}(\operatorname{div} V)\omega_g = \int_{\partial D} V^i \mathrm{d} \Sigma_i|_{\partial D} \end{aligned}\)

其中 \(\omega_g\) 是在度规 \(g\) 的衡量下，体积为 1 的体积形式，且

\( \mathrm{d}\Sigma_i := \frac{1}{(n-1)!} \omega_{ij...k} \mathrm{d}x^j\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}x^k \)

提示：由于 \((\operatorname{div} V)\omega_g =: \mathcal{L}_V \omega_g\)，根据斯托克斯定理，只要证明 \(\mathcal{L}_V \omega_g = \mathrm{d}(V^i\mathrm{d}\Sigma_i)\) 即可。

5.5 *同调和上同调简介（Introduction to Homology & Cohomology）

评论

在某种程度上，我们可以用“洞”的个数和类型来给流形分类。在一般的拓扑学科普中，人们通常用这一点来说明问题。

同调（Homology）就是为了研究“洞”（Holes）而诞生的。如何定义一个“洞”呢？

注意到，在没有洞的流形上，一个没有边界（用自然语言来说就是闭合/首尾相接）的超曲面/曲线一定是另一个区域的边界，换句话说：一个边界为零（见第 5.2 节）的 p-链 总是另外一个 (p+1)-链的边界。

但是在一个有洞的流形上，这一点是不成立的。你可以想象一个绕着甜甜圈一圈首尾相接的链：它的边界为零，但它不是任何链的边界。

评论

当然，如果一个链是另一个链的边界，那么它的边界一定为零，这是因为 \(\partial\partial=0\)（定理 5.1）。

在数学上，我们可以用代数的语言来定义这一类对象：

\[\begin{aligned} H_p(M) := \frac{ \{c_p \mid \partial c_p=0\} }{ \{c_p \mid \partial c_{p+1} = c_p \} } \end{aligned}\]

其中 \(c_p\) 代表一个 p-链。

评论

或者写得更严谨一些：

\(\begin{aligned} H_p(M) := \frac{ \{c \in C_p \mid \partial c=0\} }{ \{c \in C_p \mid \partial c^{\prime} = c; c^{\prime} \in C_{p+1} \} } \end{aligned}\)

如果你对这些符号有一些困惑，请回到第 5.2 节。

或写成

\[\begin{aligned} H_p(M) := \frac{\operatorname{Ker} \partial_{p}}{\operatorname{Im} \partial_{p+1}} \end{aligned}\]

\(H_p(M)\) 叫做 \(p\) 阶同调群，它是两个群的商群。同调群中的一个元素叫做同调类。

评论

例如，\(S_1\)（一个首尾相接的曲线）的同调类为 \(\mathbb{Z}\)。这是因为你可以绕一圈、也可以绕两圈、三圈…也可以反向绕整数圈。当然，也可以不绕圈。这对应整数群。

一个甜甜圈（数学上定义为 \(T:=S^1\times S^1\)）的 1 阶同调群为 \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\)。这从形式和图像上都是比较直观的，见下图：

甜甜圈的同调群是 ZxZ，从图中可以直观地看出，有两种不同的环绕方法

我们再来看看上同调所关心的事情。在物理中，我们通常默认一个闭形式也是一个恰当形式。例如，我们由电场的旋度（见第 3.4-5 节）为零推导出电势的存在，以及由磁场的散度（见第 3.4-5 节）为零推导出磁势的存在。

评论

恰当形式指的是这样一种形式，它是另外一个形式的（外）微分。

闭形式指的是这样一种形式，它的（外）微分为零。

然而，在一般的流形上，这未必是成立的。可能存在这样一种形式，它的微分为零，但它不是任何形式的微分。换句话说，存在不是恰当形式的闭形式。

评论

想象一个圆柱体的侧面（\(\mathbb{R}^1 \times S^1\)），上面有一个均匀环绕它一圈的电场。可以证明，这样的电场是无散的，但它却不是一个保守场：一个电子朝电场的方向绕一圈回到原来的位置，能量会减少。此时电势是不良定义的。

那么为什么在普通物理中，我们认为电势/磁势总是存在的呢？这是因为我们相信，我们所处的空间中没有“洞”。换句话说，在单连通（回想一下高等数学）的空间中，一个形式的微分为零，意味着它是一个恰当形式。

上同调（Cohomology）所关心的问题就是：闭形式何时是恰当形式，以及有多少类不是恰当形式的闭形式。

评论

当然，反过来，恰当形式一定是闭形式，这是因为 \(\mathrm{dd} = 0\)（定理 3.1）。

可以定义（de Rham）上同调群为“所有恰当形式”商掉“所有闭形式”，即：

\[\begin{aligned} H^p(M) = \frac{ \{ \omega \mid \mathrm{d}\omega = 0 \} }{ \{ \omega \mid \mathrm{d} \alpha = \omega\} } \end{aligned}\]

或写成

\[\begin{aligned} H^p(M) = \frac{\operatorname{Ker}\mathrm{d}_p}{\operatorname{Im}\mathrm{d}_{p-1}} \end{aligned}\]

\(H^p(M)\) 叫做 \(p\) 阶上同调群，其中的元素叫做上同调类。上同调群告诉我们，不是恰当形式的闭形式有多少类。

最后，有一个定理可以将同调和上同调联系在一起，它就是庞加莱对偶：

庞加莱对偶

对于 n 维可定向、紧致、无边界的流形，它的 k 阶同调群与 (n-k) 阶上同调群同构，即

\[H^k(M)\cong H_{n-k}(M)\]

严格来说，这里的上同调是奇异上同调 \(H^k(M;\mathbb{Z})\) 而不是 de Rham 上同调 \(H^k_{\text{dR}}(M)\) ，后者同构于 \(H^k(M;\mathbb{R})\) 。

换言之，下列两者的等价类之间有自然的一一对应关系：

1.不是另一个形式的微分，但自己的微分为零的形式

2.不是另一个链的边界，但自己的边界为零的链

收藏点赞、好运不断

如果你觉得本文有帮助，请点个赞吧~