性价比极高的公式
Haifei以下的公式能给解题带来极大的方便
一、高斯积分
\[I_n = \int_{0}^{\infty}x^n e^{-b x^2}\mathrm{d}x %= %\left\{\begin{aligned} %\end{aligned}\right. \]如下是一个方便的记忆方法：
首先记住
\[I_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{b}},\quad I_1 = \frac{1}{2}\frac{1}{b}\]其次有
\[I_{n+2}=\frac{n+1}{2b}I_n\]这个公式对 \(n\) 为奇数和偶数的情况都适用。
如果你在与高斯函数打交道（例如概率论），那么这个积分将会出现得非常频繁！
二、三角函数的幂
\[I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\mathrm{d}x\]下式给出了 \(I_n\)
\[I_n = \left\{\begin{aligned} &\frac{(n-1)!!}{n!!}&, \quad n \text{ is odd} \\ &\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2}&, \quad n \text{ is even} \end{aligned}\right.\]这个公式在球坐标下对 \(\theta,\,\varphi\) 积分的时候非常有用！
三、x^n的拉普拉斯变换
\[I_n=\int_{0}^{\infty}x^n\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x\]下式给出了 \(I_n\)：
\[I_n=\frac{n!}{k^{n+1}}\]这个公式在球坐标下对 \(r\) 积分时的时候有用（如果你在处理带有 \(\mathrm{e}^{kr}\) 的项）
四、分部积分的快捷方式
\[I=\int_{a}^{b} u(x)v(x)\mathrm{d}x\]快捷方式的示意图如下：
\[\begin{alignedat}{6} & u(x) & \quad & u^{(1)}(x) & \quad & u^{(2)}(x) & \quad & u^{(3)}(x) & \quad & \cdots \\ & & \searrow^{+} & & \searrow^{-} & & \searrow^{+} & & \searrow^{-} \\ & v(x) & \quad & v^{(-1)}(x) & \quad & v^{(-2)}(x) & \quad & v^{(-3)}(x) & \quad & \cdots & & \end{alignedat}\]其中 \(u^{(n)}(x)\) 表示 \(u(x)\) 的 \(n\) 阶导函数， \(v^{(-n)}(x)\) 表示 \(v(x)\) 的 \(n\) 次不定积分。
换言之，
\[\begin{aligned} I&=\int_{a}^{b} u(x)v(x)\mathrm{d}x \\&= \left.u(x)v^{(-1)}(x)\right|^{b}_{a} - \left.u^{(1)}(x)v^{(-2)}(x)\right|^{b}_{a}+\left.u^{(2)}(x)v^{(-3)}(x)\right|_{a}^{b} - \cdots \end{aligned}\]这个过程直到 \(u^{(n)}(x)=0\) 为止。
或者你也可以手动在某个位置停下，例如
\(\begin{aligned} I&=\int_{a}^{b} u(x)v(x)\mathrm{d}x \\&= \left.u(x)v^{(-1)}(x)\right|^{b}_{a} - \left.u^{(1)}(x)v^{(-2)}(x)\right|^{b}_{a}+\int_{a}^{b}u^{(2)}(x)v^{(-2)}(x)\mathrm{d}x \end{aligned}\)
这种情况下，你希望 \(\int_{a}^{b}u^{(2)}(x)v^{(-2)}(x)\mathrm{d}x\) 中包含了 \(I\) ，这样就可以移项解出 \(I\)
五、球坐标系下的微分算子
在正交曲线坐标系下，有
\[\nabla = \frac{\bm{e}_{1}}{h_1}\frac{\partial}{\partial q_1}+\frac{\bm{e}_{2}}{h_2}\frac{\partial}{\partial q_2}+\frac{\bm{e}_{3}}{h_3}\frac{\partial}{\partial q_3}\]\[\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1h_2h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(h_1A_2h_3)+\frac{\partial}{\partial q_3}(h_1h_2A_3)\right]\]\[\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\begin{vmatrix} h_1\bm{e_1} & h_2\bm{e_2} & h_3\bm{e_3} \\ \frac{\partial}{\partial q_1} & \frac{\partial}{\partial q_2} & \frac{\partial}{\partial q_3} \\ h_1A_1 & h_2A_2 & h_3A_3 \end{vmatrix}\]\[\begin{aligned} \nabla^2u&=\nabla\cdot(\nabla u)\\&= \frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial}{\partial q_1}\right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{h_1h_3}{h_2}\frac{\partial}{\partial q_2}\right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\partial }{\partial q_3}\right) \right]u \end{aligned}\]对以上公式作替换
\[\begin{matrix} h_1 \rightarrow 1 & h_2 \rightarrow r & h_3 \rightarrow r\sin\theta \\ \bm{e}_1 \rightarrow \bm{\widehat{r}} & \bm{e}_2 \rightarrow \bm{\widehat{\theta}} & \bm{e}_3 \rightarrow \bm{\widehat{\varphi}} \end{matrix}\]即可得到球坐标下的公式。
实际上， \(h_1,\,h_2,\,h_3\) 叫做拉梅系数。
有了这一招，你就可以考场手撕球坐标系下的PDE了。
六、矩阵的指数
其实这个很容易推导出来…放到这里凑个数吧：
\[\exp\left(t\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}\]\[\exp\left(t\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix} \cosh t & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{bmatrix}\]