公理集合论基础（下）：迈向无穷

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公理集合论基础（上）：空集和罗素悖论## 创造自然数（ZF3: 对集公理、ZF4: 并集公理）

在上篇文章中，我们成功地定义了一个唯一的集合，叫做空集，并解决了罗素悖论。下面，我们要用空集来建造更多的集合。为此，我们需要更多的构造性公理。

对集公理（Axiom of Pairing）： \(\forall a \forall b \exists c \forall x((x\in c)\leftrightarrow (x=a )\vee (x=b))\)

它表示，对于任意 a 和 b，可以构造出一个包含且仅包含 a 和 b 的集合 c。这也是一个构造性公理。

由于我们现在只有空集可以用，我们不妨拿它来试一试。

将对集公理中的 a 和 b 替换为空集 \(\emptyset \) ，我们就得到了一个集合 \(\{\emptyset,\emptyset\}\) ，而根据外延公理，它等于 \(\{\emptyset\}\) 。

同理，我们还可以建造 \(\{\{\emptyset\}\}\) 、 \(\{\{\{\emptyset\}\}\}\) 等。

将对集公理中的 a 和 b 替换为 \(\emptyset \) 和 \(\{\emptyset\}\) ，我们又可以得到 \(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) ，等等。

这样做可以建造出很多集合，但是我们还是不能造出元素个数大于二的集合。例如，\(\{\emptyset,\emptyset\}\) 只有一个元素，\(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) 有两个元素，等等。

为了造出含有更多元素的集合，我们再创造一条公理：

并集公理（Axiom of Union）： \(\forall x \exists X \forall u(\exists t(u\in t\wedge t\in x ) \leftrightarrow u \in X)\)

直接解读这些符号的含义比较费劲，下面我们通过一个例子来说明这个公理的意思。

假设我们有一个集合 \(x=\{\{a\},\{b,c\}\}\) ，这个集合有两个元素，可以由对集公理得到。并集公理的作用就是，我们可以由它建造出 \(X=\{a,b,c\}\) 。也就是说，我们可以构造一个新的集合，使得 \(x\) 中的每一个元素中的每一个元素都属于 \(X\) 。

记 \(X=\bigcup x\) ，称 \(X\) 为 \(x\) 的并。特别地，记 \(x\cup y=\bigcup \{x,y\}\) 。这是我们所熟悉的集合的并运算。对于上例，意思就是我们可以构造两个集合的并集 \(\{{a,b}\}\cup \{c\} = \{a,b,c\}\) 。

这样一来，我们就可以建造元素个数大于二的集合。实际上，将 n 个元素的集合与一个元素的集合合并，我们可以建造 (n+1) 个元素的集合。可见，只要这样一直做下去，那么给定任意多的对象，我们都能构造以这些对象为元素的集合。

我们现在就可以定义交、差等运算了，此处略去，读者可以自行尝试定义。

【选读】现在我们还可以定义子集和真子集，这是很容易的：
\(\forall u(u\in X \rightarrow u\in Y)\rightarrow X\subseteq Y\)
我们都知道，空集是任何集合的子集。这一串符号同样可以处理空集的情况。因为对任何 \(u\) ，\(u\in \emptyset\) 是假命题，假命题可以推出任何命题，那么它也可以推出 \(u\in Y\) ，（ \(Y\) 是任意集合），从而 \(\emptyset\subseteq Y\) 。可见“假命题蕴涵任何命题”的规定是非常有用的。

到此为止，我们已经可以定义自然数了：

首先，定义 \(\emptyset=0\) 。

根据对集公理，可以构造出 \(\{\emptyset\}\) 。定义 \(\{\emptyset\}=1\) ，即 \(\{0\}=1\) 。

接着还可以定义 \(\{0,1\}=2\) 。

根据并集公理，给定任意多的对象，都能构造以这些对象为元素的集合。因此我们可以定义 \(\{0,1,2\}=3\) 。

以此类推。

注意到这里的“封装”思想，我们一旦定义好了自然数“3”，就不会把它再写成 \(\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\) 。

你可能不太满足于“以此类推”四个字。因此我们现在定义自然数的后继：

\[S(x):=x\cup\{x\}\]

冒号加等于号表示定义的意思。这样我们就有 \(1=S(0)\) ， \(2=S(1)\) 等等。

注意到零不是任何自然数的后继，这在皮亚诺的算术系统中是一条公理，但是在集合论公理系统中，它是可以被证明的。证明留给有兴趣的读者完成（提示：利用反证法，以及空集没有元素的事实）。

为什么要上文那样定义，而不是直接定义 \(1=\{0\},\,2=\{1\},\, 3=\{2\},\cdots\) 呢？因为如果采用之前的定义，我们有 \(1\subseteq2,\, 1\subseteq3,\,2\subseteq3,\cdots\) 等等，这样我们就有了一个自然的序关系。而如果现在用这种定义，虽然仍然有 \(1\subseteq2,\,2\subseteq3,\cdots\) ，但是 \(1\subseteq3\) 就不成立了，这样我们就失去了一个自然的序关系。

现在我们的数学宇宙有了新的对象——自然数，之后我们可以用自然数定义整数、有理数、实数、复数等等。可见数学大厦是一块砖一块砖砌成的。

现在我们定义了自然数，那可不可以定义自然数集 \(\{0,1,2,\cdots\}\) 呢？即任何一个自然数都是这个集合的元素。

很遗憾，不行。因为并集公理只能保证“任意多”，不能保证“无穷多”。换言之，你给我任意多的自然数，我都可以用并集公理构造出一个集合，使得这些自然数都是它的元素。

但是如果你要求我提前构造好一个集合，使得你之后给出的任何数都在这个集合内，这在目前看来是办不到的。这其实就是“潜无穷”和“实无穷”的区别。

生活中也有同样的道理。你的甲方应该先提好目标，再让你去执行，而不是等你执行完了再提目标。

但是数学不会止步于此，我们希望研究“实无穷”，也就是真正的无穷，让甲方无可刁难。

迈向无穷（ZF6:无穷公理、ZF5:幂集公理、ZF8：替换公理模式）

无穷公理（Axiom of Infinity）： \(\exists X(\emptyset \in X \wedge \forall x(x\in X \rightarrow x\cup\{x\}\in X))\) 。

它的意思是，存在集合 \(X\) ，空集属于它，且对于它的任何元素，该元素的后继也属于它。这样我们就有了自然数集。这是真正的无穷集。

替换公理模式（Axiom Schema of Replacement）： \(\forall A\exists B(B=\{y|\exists x(x\in A\wedge\varphi(x,y)\,)\})\)

它的意思是，任何集合在一个函数下的像仍然是一个集合。

将替换公理模式和无穷公理模式配合起来，我们就可以得到各种各样的可数无穷集。例如，要构造偶数集，我们只需要令 \(\varphi\) 为 \(\varphi(x,y):y=2x\) 。

但是这样只能得到可数无穷集。我们能不能构造基数更大的无穷集呢？幂集公理可以做到。

幂集公理（Axiom of Power Set）： \(\forall X\exists Y\forall u(u\in Y\leftrightarrow u\subseteq X)\)

它的意思是，可以将一个集合的所有子集作为元素，构造一个新的集合。我们把这个集合叫做原来集合的幂集，记为 \(\mathcal{P}(X)\) 。

这样就可以生成“更加无穷”的集合。它们的“势”比可数无穷集更大。

读者可以尝试用无穷公理来证明存在公理。这样一来，我们就可以把存在公理丢弃了（见上一篇文章）。

消除病态（ZF7：正则公理，Axiom of Regularity）

存在属于自己的集合吗？

存在一个这样的集合 \(\{x_0,x_1,\cdots\}\) ，使得对于所有 \(n\) ，都有 \(x_{n+1}\in x_n\) 吗？换句话说，存在关于属于号的无穷降链吗？

上面的两个例子中的集合都是相当病态的。为了消除这种病态，我们需要正则公理。

正则公理： \(\forall x(x\neq \emptyset\rightarrow \exists y(y\in x\wedge x\cap y=\emptyset))\)

它表明，在任何非空集合 \(x\) 中，都有对于“ \(\in\) ”的最小元素 \(y\) 。换句话说，在任何非空集合 \(x\) 中，都存在这样一个元素 \(y\) ，使得 \(x\) 中没有元素属于 \(y\) 。

读者可以尝试利用正则公理证明“没有属于自己的集合”。这也可以解决罗素悖论。

关于正则公理有一个很有意思的事情：即使我们去掉正则公理（ZF7），剩下的 ZF 公理也构造不出它所禁止的这种病态对象。那么，既然如此，为什么我们还需要 ZF7？

答案是：虽然我们只能通过公理来构造新集合，但从本体论的角度而言，我们并没有禁止我们的集合宇宙中本来就存在了这么一类 ZF7 所禁止的病态集合，它们不需要被其他东西所构造，而是本身就存在于宇宙中。所以 ZF7 和 ZF0 一样，都是一种本体论的承诺。只不过 ZF0 承诺“某些东西存在”，而 ZF7 承诺“某些东西不存在”。

选择公理（Axiom of Choice）

选择公理实在太重要，以至于值得将它的大名作为本节的标题。但是，关于它的科普实在太多，本文没有必要重复造轮子。这里仅给出它的表达式：

\[\forall X[\emptyset\notin X\wedge\forall x\forall y(x\in X\wedge y\in X\rightarrow x\cap y=\emptyset)\rightarrow\exists S \forall x(x\in X\rightarrow\exists !y(S\cap x=\{y\}))]\]

其中 \(\exists!y\) 的意思是“存在唯一的y”。

值得注意的是，选择公理不属于 ZF 系统。ZF 系统 + 选择公理 = ZFC 系统。主流数学使用 ZFC 系统。

关于选择公理有很多有趣的事实，本文建议读者在互联网上自行搜索，此处就不赘言了。

总结

到此为止，我们就介绍了 ZFC 公理集合论的全部 9 个公理，它们分别是：

ZF1 外延公理

ZF2 分离公理模式

ZF3 对集公理

ZF4 并集公理

ZF5 幂集公理

ZF6 无穷公理

ZF7 正则公理

ZF8 替换公理模式

C 选择公理

前八个公理构成所谓的“ZF”公理系统，再加上选择公理，就构成了“ZFC公理系统”。“Z”和“F”分别是提出者姓名的首字母；“C”则代表“Axiom of Choice”——选择公理。