别再被数学系同学鄙视了！物理人做换序操作时需要知道的一致收敛

前言

每当物理人进行诸如积分号下求导，积分换序等操作的时候，围观的数学人都要坐不住了：

“你这个广义积分/级数是一致收敛的吗？”

物理人回答：

“一致收敛是啥？我们一直都是这么干的”

亦或是：

“假设这个函数的性质足够好”

或者更离谱：

“假设这个函数长得比较漂亮”

looks good

…

于是数学人骂骂咧咧地离开了…

图源互联网，侵删

不过，身为物理人，了解一下这些数学上严格的条件没有什么坏处。

本文旨在厘清与一致收敛有关的物理中常用的“危险操作”。

一睹为快

一致收敛保证了换序的合法性。包括：

• 无穷求和号与极限号换序
• 无穷求和号与求导号换序
• 无穷求和号与积分号换序
• 广义积分号与极限号换序
• 广义积分号与求导号换序
• 广义积分号与积分号换序

一、函数项级数

我们都知道：

1. 两个连续函数相加还是连续函数。

2. 两个函数的导数的和，与和的导数没有什么不同。

3. 两个函数在某个区间上的黎曼积分的和应该等于和的黎曼积分。

这是由于极限、导数、积分具有线性性（linearity）。

可是如果不是两个函数相加，而是无穷多个函数相加呢？

无穷多个函数相加，就叫做函数项级数。

泰勒级数，傅里叶级数这类函数项级数，都涉及无穷多个函数的和。

经验表明，无穷项的和与有穷项的和有很大不同。如果不小心处理，可能会得出一些荒谬的结论。

1.1 函数项级数的一致收敛

那么，上面的三个性质（逐项相加、逐项求导、逐项积分），要推广到无穷多个函数的和，需要注意什么呢？

没错，就是一致收敛。

定义 1.1（函数项级数的一致收敛）
设 \(S_n(x)\) 为函数项级数的部分和，则称满足 \(\lim_{n\rightarrow \infty} \sup_{x\in D}|S_n(x)-S(x)|=0\) 的级数在 \(D\) 上一致收敛于 \(S(x)\) 。

翻译成自然语言就是，如果部分和函数与 \(S(x)\) 的差的绝对值（也是一个函数）存在一个可以控制的（与自变量 \(x\) 无关的）上界，那么部分和函数一致收敛于\(S(x)\)。

这个定义对普通的函数列也适用，只需把 \(S_n(x)\) 换成函数列的一般项即可。

例 1.1
为了使读者看出，一致收敛比普通的逐点收敛要强，举一个简单的例子。设部分和函数（或函数列的一般项）是 \(S_n(x)=x^n\) ，显然，在区间 \([0,1]\) 上，它逐点收敛于这个函数 ：

\[ S(x)= \begin{cases} 0&0\le x<1\\ 1&x=1 \end{cases} \]

但是不论 \(n\) 多大，部分和函数 \(S_n(x)\) 总是能取到 \(0.5\) 这个值（根据部分和函数连续以及介值定理），换言之， \(\forall n\exists x_0(S_n(x_0)=0.5)\) 。这就使得控制上界成为了不可能的事情，总是有那么一些 \(x\) 你是管不住的。实际上，在这个例子中，不论 \(n\) 多大，误差的上确界（就是那个 \(\sup\) 符号）总是 \(1\) 。
而一致收敛则可以同时管住所有 \(f(x)\) ，让它们同时按照你想要的上界 \(\epsilon\) ，任意接近目标函数。

例 1.2
再举一个简单的例子。
假如我们想到了一个很蠢的点子，用 \(y=\mathrm{e}^{\alpha x}\,(\alpha\rightarrow0)\) 来逼近 \(y=1\)。
于是我们可以考虑函数列 \(\varphi_k(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}\) 。显然 \(\lim_{k\rightarrow \infty}\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}=1\) 对所有 \(x\) 都成立。
但是，只要 \(\frac{1}{k}\ne 0\) ， \(\varphi_k(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上就是无界的。
假如你的老板给你定下了一个目标 \(\epsilon\) ，并命令你找一个 \(N\) ，使得当 \(k>N\) 时， 误差 \(\left|\mathrm{e}^{\frac{1}{k}x}-1\right|<\epsilon\) 对所有 \(x\) 成立，那么你可能要考虑辞职了，因为这显然是一个不可能完成的任务。不管你找多么大的 \(N\) ，一定会有更大的 \(x\) 导致计划破裂。假设对 \(\epsilon =1\) 的情况，你找到了满足要求的 \(N\) ，那么你的老板只需要令 \(x=2N\) ，就有 \(\left|\mathrm{e}^{\frac{1}{k}2N}-1\right|>\mathrm{e}-1>1\quad (N

1.2 函数项级数：一致收敛与换序

下面我们看看换序是怎么一回事。

定理 1.1（函数项级数的连续性、可微性、可积性）

如果级数 \(\sum_{k}f_k(x)\) 一致收敛，则

(a) 若级数的每项连续，则级数的和连续。换言之，求和号可以与极限符号换序：
\(\lim_{x\rightarrow x_0}\sum_{k} f_k(x)=\sum_{k} \lim_{x\rightarrow x_0} f_k(x)\) 。

(b) 若级数的每项的导函数连续，且导函数构成的级数一致收敛，则级数可以逐项求导。换言之，求和号可以与求导符号换序：
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum_{k} f_k(x)=\sum_{k} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_k(x) \) 。

(c) 若级数的每项连续，则级数可以逐项积分。换言之，求和号可以与积分号换序：
\(\int_{M}\sum_{k} f_k(x) \mathrm{d}x=\sum_{k} \int_{M}f_k(x) \mathrm{d}x\) （下标M表示在区间M上的定积分）。

可以看到，物理人喜闻乐见的各种换序，可以由一致收敛来保证其正当性。

注：在定理 1.1(b) 中，注意要求导函数构成的级数一致收敛。
另外，在定理 1.1(b) 中，如果原级数收敛，那么导函数构级数一致收敛加上导函数每项连续，可以推出原级数一致收敛。

例 1.3
回到之前的例子 \(S(x)=x^1+(x^2-x^1)+(x^3-x^2)+\cdots= \begin{cases} 0&0\le x<1\\ 1&x=1 \end{cases}\) 。这个级数的每项都连续，可是和却不连续，所以它不是一致收敛的。

实际上，定理 1.1(b) 和 1.1(c) 是如下定理的直接推论：

若 \(\{\varphi_k(x)\}\) 一致收敛于 \(f(x)\) ，且对所有 \(k\) ，\(\varphi_k{(x)}\) 连续，则有：\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\lim_{k\rightarrow \infty} \varphi_k(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \varphi_k(x) \) ，以及\(\int_{M}f(x){\mathrm{d}x}=\int_{M}\lim_{k\rightarrow \infty} \varphi_k(x){\mathrm{d}x}=\lim_{k\rightarrow \infty} \int_{M} \varphi_k(x) {\mathrm{d}x}\)

只要将该定理的一般项 \(\varphi_k(x)\) 换成部分和 \(S_k(x)\) 即可。于是我们又掌握了极限号与求导号换序，以及极限号与积分号换序。由于函数列在物理里通常是以部分和的形式出现的，所以这两个换序不会怎么用到。

值得一提的是，上述换序时所说的“求和号”，是指无穷求和。如果只是对有限项求和，那就根本算不上级数，收敛也就无从谈起。当然，有限项的换序是很安全的，直接换就可以了。

二、含参变量广义积分

2.1 含参变量积分

在求级数和的时候，我们可以这样想，函数项级数的每一项本来与序数和自变量都有关，即

\[\varphi(x;k)=\varphi_k(x)\]

而对 \(k\) 求和，就让 \(k\) 这个字母消失了：

\[\sum_{k}\varphi_k(x)=S(x)\]

只剩下了 \(x\) 。

类似地，对积分也可以这么做，设想某个量与两个量有关： \(y=\varphi(x,s)\)

现在我们不对 \(s\) 求和了，而是对 \(s\) 求积分：

\[\int_{a}^{b}\varphi(x,s)\mathrm{d}s=f(x)\]

这样就让 \(s\) 消失，只留下了 \(x\) 。

这就是含参变量积分。在这里 \(x\) 是参数，选取不同的 \(x\) ，可以让该积分有不同的值。

例 4
观察 \(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=1\) ，\(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\) ，\(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-3x}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\)，…
可见 \(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x\) 对 \(k\) 应该有一个函数关系。实际上这个关系就是 \(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=\frac{1}{k}\quad (k>0)\) ，这是很容易证明的。
这里的 \(k\) 就是含参变量积分的“参变量”。

2.2 含参变量积分：换序

我们感兴趣的是，含参变量积分关于参数有什么样的性质，比如它对参变量连续吗？即 \(\int_{a}^{b}\varphi(x,s)\mathrm{d}s=f(x)\) 连续吗？

还有一些更有趣的问题，比如它可以积分号下求导吗？

例 5

对 \(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=\frac{1}{k}\quad (k>0)\) 两边求导得 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}k}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=-\frac{1}{k^2}\quad (k>0)\)

不难发现，将求导放到积分号里面去，结果竟然也正确：\(\int_{0}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial k}\mathrm{e}^{-kx}\mathrm{d}x=-\frac{1}{k^2}\quad (k>0)\)

这种操作什么时候是允许的呢？下面的定理回答了这个问题：

定理 2.1（含参黎曼积分的连续性、可微性、可积性）

\(I(y)=\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x, \, x\in \alpha, \, y \in \beta\) ， \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是有界闭区间。

(a) 若 \(f\) 在 \(\alpha \times \beta\) 上连续，则 \(I(y)\) 在 \(\beta\) 上连续。换言之，极限号和积分号可以换序。

(b) 若 \(f\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 在 \(\alpha \times \beta\) 上连续，则 \(I(y)\) 在 \(\beta\) 上可微，且 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}I(y)=\int_{\alpha}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\mathrm{d}y\) 。换言之，求导和积分可以换序。

(c) 若 \(f\) 在 \(\alpha \times \beta\) 上连续，则 \(I(y)\) 在 \(\beta\) 上可积，且 \(\int_{\beta}\mathrm{d}y\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}\mathrm{d}x\int_{\beta}f(x,y)\mathrm{d}y\) 。换言之，积分号之间可以换序。

读者可能心生疑问：这里并没有一致收敛啊？那是当然的。闭区间上的积分总是有界的，根本不会发散，也就没有收敛的概念，更不用说一致收敛了。但是，广义积分不一定收敛。下面我们就来看看广义积分。

2.3 含参变量广义积分

所谓广义积分，简单理解就是指在无界区间或者有界开区间上的积分。它们有可能不收敛！

无界区间上的广义积分\(\int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\) 的收敛性定义为，对于任意 \(\epsilon>0\) ，存在 \(N\) ，使得当 \(M>N\) 时， \(\left|\int_{M}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\right|<\epsilon\) 。

2.4 含参变量广义积分：一致收敛与换序

如果给 \(f(x)\) 再加一个参数 \(f(x;y)\) （这里参数又换成 \(y\) 了，希望你没有被搞晕），同样的问题又出现了：是否对于所有不同的参数 \(y\) ，我们都能用一个 \(N\) 控制住误差？这就是广义积分的一致收敛问题。

定义二（含参广义积分的一致收敛）

若对于任意 \(\epsilon>0\) ，存在 \(N(\epsilon)\) ，使得当 \(M>N(\epsilon)\) 时， \(\left|\int_{M}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x\right|<\epsilon\) ，则称广义积分 \(\int_{a}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x\) 一致收敛。

（或 \(\lim_{M\rightarrow \infty} \sup_{y\in \beta}\left|\int_{M}^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x\right|=0\)）

可见，如果广义积分一致收敛，由于 \(N(\epsilon)\) 与 \(y\) 无关，对于任意给定的上界 \(\epsilon\) ，我们都可以只用一个 \(N(\epsilon)\) ，一次性管住所有 \(y\) ，而不需要为每个 \(y\) 量身定制一套 \(N(\epsilon,y)\) 。这与前面函数项级数的情况是类似的。

对于其他类型的广义积分，如有界开区间上的广义积分，讨论方法类似，不再赘述。

含参变量广义积分的相关定理，只需要在含参变量黎曼积分（定理 2.1 ）的基础上加上一致收敛的条件即可。

定理 2.3（含参广义积分的连续性、可微性、可积性）

已知广义积分 \(I(y)=\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x, \, x\in \alpha, \, y \in \beta\) ，\(\beta\) 是有界闭区间，且 \(I(y)\) 一致收敛。

a) 若 \(f\) 在 \(\alpha \times \beta\) 上连续，则 \(I(y)\) 在 \(\beta\) 上连续。换言之，极限号和积分号可以换序。

b) 若 \(f\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 在 \(\alpha \times \beta\) 上连续，且\(\int_{\alpha}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\mathrm{d}x\) 一致收敛，则 \(I(y)\) 在 \(\beta\) 上可微，且 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}I(y)=\int_{\alpha}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)\mathrm{d}y\) 。换言之，求导和积分可以换序。

c) 若 \(f\) 在 \(\alpha \times \beta\) 上连续，则 \(I(y)\) 在 \(\beta\) 上可积，且 \(\int_{\beta}\mathrm{d}y\int_{\alpha}f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}\mathrm{d}x\int_{\beta}f(x,y)\mathrm{d}y\) 。换言之，积分号之间可以换序。

所以，对于普通的黎曼积分，只需要连续即可各种换序，不需要一致收敛（也不存在一致收敛的概念，正如有限项函数求和不需要收敛）。但对于广义积分来说，换序的操作还是要求一致收敛的。

总结

上文讨论了两种一致收敛，一种是函数项级数的一致收敛，另一种是含参广义积分的一致收敛。

根据定理 1.1，函数项级数的一致收敛保证了以下操作的合法性：

无穷求和号与极限号换序、

无穷求和号与求导号换序、

无穷求和号与积分号换序。

根据定理 2.2，含参广义积分的一致收敛保证了以下操作的合法性：

广义积分号与极限号换序、

广义积分号与求导号换序、

广义积分号与积分号换序。

与求导号换序时，要注意不仅原级数要一致收敛，而且导函数级数也要一致收敛。