太长不看版：

“超距且瞬时（超光速）”的相互作用是一种过时的观点。根据狭义相对论，类空距离的事件之间不存在任何相互作用。学界的主流观点是将量子态和测量基矢共同作为 reality，这叫做互文性。非局域性是互文性的一个推论。

一般理性告诉我们，实际的位置测量不会产生 delta 函数，因为 delta 函数本身是病态的。那么实际的位置测量的坍缩态应该长什么样呢？

太长不看版：

设待测系统的波函数为 $\varphi(x)$ ，则坍缩后的波函数为：

产生湮灭算符的定义动机很简单，完全可以从经典力学中得到。

想想我们是怎么解经典谐振子的。由于位置和动量是耦合起来的：

$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \omega p \\ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = -\omega x \end{cases}$

即

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \begin{bmatrix} x \\ p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ p \end{bmatrix}$

本文旨在从基本量子动力学出发，推导出激光的相干态。

考虑一个二能级系统和一个单模光场的相互作用，且光场频率等于能级差。

二能级系统一开始处于激发态 $|e\rangle$ ，光场处于真空态 $|0\rangle$ 。

前言

1992 年发表在 PRA 上的一篇文章 [1] 指出，光子也有轨道角动量（OAM，Orbital Angular Momentum）。与自旋角动量（即偏振，SAM，Spin Angular Momentum）只能取 $\pm \hbar$ 相比，轨道角动量可以取 $\hbar$ 的任意整数倍。这样的轨道角动量可以由螺旋形状的波前所携带。

很多物理工作者向大众科普量子纠缠的时候都会举一个例子：

想象你有两个盒子，其中一个放了披萨，另一个放了汉堡，在打开盒子之前无法知道其中是什么。Alice 和 Bob 一人拿走一个盒子，并且走到相距很远的地方。此时 Alice 打开盒子就能知道遥远彼端的 Bob 的盒子里有什么。

一、量子计量学介绍

所谓量子计量学（Quantum Metrology），就是利用量子物态的量子性质进行精密测量的学问。

之所以要研究量子计量学，是因为任何物理量的测量精度都由量子力学中的海森堡不确定性原理所限制，这叫做海森堡极限（Heisenberg Limit）。如何逼近以及提升这个极限，就是量子计量学的目标。

Quantum State Tomography（量子态层析）

Quantum state tomography（量子态层析）就是根据【对量子态系综的测量结果】反推【量子态】的过程。它的 formulation 非常简单，具体如下：

一个波包可以对应一个光子

例：一个光子可以处于不同频率的相干叠加态中： $|\psi\rangle=\sum_{k}c_k|k\rangle,\quad \sum_k|c_k|^2=1$ ，此时该光子可以表现为一个波包。

你可以想象一个原子退激发产生一个光子，这个光子当然会表现为一个波包。

一 微分是无穷小？

物理人喜欢把微分看做是一个很小的量，这在计算时总是很方便的，但是给人一种不严谨的感觉。

实际上，它确实不严谨，第二次数学危机就是因此产生的。

光子有时空表象下的波函数：

$\Psi(\mathbf{r},t)=\langle \mathbf{r},t|\psi\rangle=\langle 0 |E^{+}(\mathbf{r},t)|\psi\rangle$

其中 $\begin{aligned} |\mathbf{r},t\rangle = E^{-}(\mathbf{r},t) |0\rangle = \sum_{\mathbf{k},\lambda} \sqrt{\frac{\hbar \omega}{2 \epsilon_0 V}} e^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega_{\mathbf{k}} t)} a^\dag_{\mathbf{k},\lambda} |0\rangle \end{aligned}$ 。

直观来看，就是让场算符 $E^{-}(\mathbf{r},t)$ 在时空点 $(\mathbf{r},t)$ 处创造一个态 $|\mathbf{r},t\rangle$ ，再求这个态和 $|\psi\rangle$ 之间的 overlap。

Baker-Campbell-Hausdorff 公式 可以用来计算海森堡表象下的算符演化：

$e^X Y e^{-X}=Y+[X,Y]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots$

这个公式其实只是 BCH 公式的小弟

因为海森堡表象下的算符演化规则是 $A\rightarrow UAU^{\dag}$ ，其中 $U$ 是酉演化算符。

如果 $U$ 由 $H$ 生成，那么就是 $A\rightarrow e^{\frac{t}{i\hbar}H}Ae^{-\frac{t}{i\hbar}H}$ 了。

在经典力学中，复数只是一个用来简化计算的数学技巧。

在量子力学中，复数不再只是一个数学技巧，而是有一定的物理意义。考虑经典矢势：

$\begin{aligned} \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\sum_{\mathbf{k}\lambda} \left( A_{\mathbf{k}\lambda}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega_{\mathbf{k}}t)} + \text{c.c.}\right)\mathbf{e}_{\mathbf{k}\lambda} \end{aligned}$

其中 $\mathbf{k}$ 和 $\lambda$ 分别代表空间模式和偏振模式

上篇我们说了在 HBT 实验中，用非光子数分辨的单光子探测器测量量子二阶关联函数的原理。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/679453473
这篇我们来看看量子二阶关联函数有什么用。除了老生常谈的用来区分【超泊松统计/泊松统计/亚泊松统计】以及区分【光子集聚/反集聚】以外，HBT 实验还可以用来测量多模压缩态的频谱纯度。

HBT 实验

做量光实验的小伙伴一定知道 HBT 实验可以用来测二阶关联函数 g2，即将一束光用 50:50 的分束器分成两束，再分别用两个探测器探测，并统计两边光强的关联随延迟的变化，如下图所示：

一 性质上的异同点

李导数 $\mathcal{L}_V$ 和协变导数 $\nabla_V$ 有很多共同点：

1. $\mathcal{L}_V$ 和 $\nabla_V$ 都保持张量的型号，即都是 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 到 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 的映射。 $\mathcal{T}^p_q(M)$ 表示 $M$ 上全体 (p, q) 型光滑张量场的集合

特别地，对于 (0,0) 型张量场，也就是标量场 $f\in \mathcal{F}(M)$ ，有 $\mathcal{L}_V f=\nabla_V f=Vf$ 。

分两种情况讨论：物理地址和虚拟地址。

如果说的是物理地址 0x0，那他一点都不孤独，每次复位的时候，程序计数器都会跟他打个招呼：

“嘿，哥们，请问复位的中断服务函数怎么走？”

投影测量

传统意义上的（Von Neumann 意义上的）测量是一系列投影算符。对可观测量所对应的自伴算子进行谱分解 $O=\sum_i\lambda_i |\varphi_i\rangle\langle\varphi_i|$ ，即可得到这些投影算符 $|\varphi_i\rangle\langle\varphi_i|$ 。这一部分学过初等量子力学的同学都很熟悉。

先看一段 Jupyter Notebook 中的代码：

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import time
import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display

slider = widgets.IntSlider()
display(slider)

while True:
    print(slider.value)
    time.sleep(1)

运行上面的代码，IntSlider() 会显示一个可交互的滑块小组件。当用户滑动滑块时，它的值应当改变，变化的值应当可以在 while 循环内打印出来。