电磁场不只是电场和磁场——AB效应与Berry联络【更高更妙的电动力学·3】

电磁场并非电场和磁场。

换句话说，电磁场并不只是电场和磁场。

此话怎讲？

一、电磁势的地位高于场强

在前文中，我们挖过一个坑：

$\boxed{\begin{aligned} \phi &\mapsto \phi - \partial_t \lambda \\ \mathbf{A} &\mapsto \mathbf{A} + \nabla \lambda \end{aligned}}$

学过经典电动力学的同学都知道，这就是电磁规范变换，变换前后不影响实际的物理。

在经典电动力学中，我们总是把麦克斯韦方程当作第一性原理，而把规范变换看做是一种衍生品；我们把电场和磁场看做是根本性的实体，而将势能和矢势看做是一种方便的数学手段，认为它们没有实际的物理效应。而正是因为规范变换不影响电场和磁场，我们才导出了规范变换。

但，难道场强真的就是事实的全部吗？

不是的！从更高的视角来看，电磁势 $A = (\phi, \mathbf{A})$ 才是根本的物理实体，而场强是衍生品。

你可能有很多问题：在电动力学里，难道场强 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 不就是电磁场的全部吗？麦克斯韦方程不就是描述场强的变化吗？难道可观测量不是只有场强吗？由于规范自由度的存在，电磁势 $A = (\phi, \mathbf{A})$ 难道不是不可观测的吗？

的确，在经典电动力学里，以上的观点是完全正确的。

然而，当进入量子的领域之后，人们才逐渐发现，场强 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 并非事实的全部：有一些现象，只用 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 是无法解释的，只有用电磁势 $A$ 才能解释。

这个现象就是 Aharonov–Bohm 效应（简称 AB 效应）。直到 AB 效应的发现，人们才正式确立了 $A$ 的本体地位，而将场强 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 看成是衍生品。

在量子电动力学中，你几乎看不到 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 的身影。取而代之的是电磁势 $A$ 。

二、Aharonov-Bohm 效应

下面我们来简单推导一下 AB 效应。

在前文中我们讲到协变导数为 $D_\mu=\partial_\mu + \mathrm{i}\frac{e}{h}A_\mu$ 。

现在，我们让电子沿着某路径缓慢移动，那么其协变导数应当为零：

$D_\mu \psi = 0$

这正如在广义相对论中，我们让向量做平行移动时，要令其协变导数为零。

于是

$\begin{aligned} &D_\mu\psi=0\\ &\Rightarrow\left(\partial_\mu + \mathrm{i}\frac{e}{h}A_\mu\right) \psi =0 \\ &\Rightarrow \partial_\mu \psi = -\mathrm{i}\frac{e}{\hbar} A_\mu \psi \\ &\Rightarrow \psi(x) = \psi(x_0) \exp\left( -\mathrm{i}\frac{e}{\hbar}\int A_\mu \mathrm{d}x^\mu\right) \end{aligned}$

可见，除了动力学相位 $\int\frac{e}{\hbar}A_0 \mathrm{d}x^0 = \int\frac{1}{\hbar} E \mathrm{d}t$ 以外，电子还会增加一个额外的相位 $\color{red}{\int \frac{e}{\hbar} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}}$ 。这就是 Aharonov-Bohm 相位。

考虑一个很长的螺线管，其内部有磁场，但外部磁场为零。现在让电子缓慢绕其一周，相比螺线管未通电时，电子积累的相位变化了

$\boxed{\begin{aligned} \Delta \theta = \frac{e}{\hbar}\oint \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \frac{e}{\hbar}\int \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{e }{\hbar}\Phi \end{aligned}}$

其中 $\Phi$ 是螺线管中的磁通量。

人们震惊地发现：电子没有经过任何 $\mathbf{E},\mathbf{B}$ ，换句话说，在电子的路径上， $\mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}$ ，但电子却仍然受到了电磁场的影响！这是因为在电子的路径上，虽然有 $\mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0}$ ，但电磁矢势 $\mathbf{A}\ne 0$ 。

这告诉我们， $\mathbf{A}$ 才是根本的实体，而 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 只不过是衍生品而已。

的确，在前文中我们提到， $A$ 作为主丛上的联络，是第一性的。 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ （或电磁张量 $F = \mathrm{d}A$ ）作为联络 $A$ 的曲率，是第二性的。

注意， $\Delta \theta = \frac{e}{\hbar}\oint \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}$ 是规范不变的：令 $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla\lambda$ ，有 $\oint \nabla \lambda\cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = 0$ 。可见，只有闭合路径的 AB 相位才是规范不变的。

三、和乐（Holonomy）

在纤维丛的底流形上绕一圈回到原点，导致纤维中的值发生改变，这个现象叫做和乐（Holonomy）。对于我们的 $U(1)$ 主丛，其纤维是 $U(1)$ ，此时是 $U(1)$ 中的元素（ $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ ）发生了变化。

这正如一个切向量在球面上绕一圈回到原点之后，该切向量会发生变化，因为切向量就是切丛的纤维（切空间）中的元素。

在物理学中，$U(1)$ 纤维丛上的 Holonomy 有个特别的名字，叫做几何相位（Geometric Phase），或者 Berry 相位。其对应的联络叫做 Berry 联络，对应的曲率叫做 Berry 曲率。

在 AB 效应中，Berry 联络 $\mathcal{A}$ 不是别的，正是电磁 1-形式 $A$ （实际上还要乘以常数 $e/\hbar$ ： $\mathcal{A} = \frac{e}{\hbar} A$ ），而 Berry 曲率 $F$ 就是磁场 $B$ （实际上还要乘以常数 $e/\hbar$ ： $F = \frac{e}{\hbar} B$ ）。

更准确地说，Berry 曲率应当是 $A$ 的外微分 $F = \mathrm{d}A$ ，是一个 2-形式。

通过三维欧式空间的 Hodge 对偶，我们可以将 2-形式对偶成一个 1-形式，也就是磁场 1-形式。对 1-形式 $A$ 求外微分再求 Hodge 对偶等价于求它的旋度： $\nabla \times A^\sharp = \star\mathrm{d}A$ 。

之所以人们把磁场叫做赝矢量，也是因为磁场本质上是一个 2-形式，而非一个 1-形式。我们常说的磁场其实是这个 2-形式的 Hodge 对偶。

电磁势 $\mathbf{A}$ 只是一个特定的 $U(1)$ 纤维丛上的联络，这个纤维丛的底流形是位形空间自身。

还有其他更多的 $U(1)$ 纤维丛，它们的底流形不是位形空间，而是抽象的参数空间，比如动量空间。对量子霍尔效应的分析就是在动量空间的 $U(1)$ 纤维丛上进行的，在那里我们同样可以导出 Berry 联络和 Berry 曲率，这些概念成为了现代凝聚态物理的核心。

$U(1)$ 纤维丛上的几何相位叫做 Berry 相位， $SU(n)$ 纤维丛上的几何相位叫做非阿贝尔几何相位，在非厄米系统、拓扑量子计算等中都有应用。

四、Berry 联络/曲率

接下来我们来推导 Berry 联络的公式。

现在考虑一个抽象的底流形 $M$ ， $M$ 上的点 $s \in M$ 是哈密顿量 $H(s)$ 的参数，而不是时空点。此时记哈密顿量的某个本征态为 $\psi$ 。

从平行移动出发：

$\begin{aligned} &D_\mu\psi=0\\ &\Rightarrow\left(\partial_\mu + \mathrm{i}A_\mu\right) \psi =0 \\ &\Rightarrow \partial_\mu \psi = -\mathrm{i}A_\mu \psi \end{aligned}$

上式两边与 $\psi$ 求内积，得到：

$\langle\psi | \partial_\mu \psi \rangle = -\mathrm{i} A_\mu \langle\psi | \psi\rangle$

即：

$\boxed{A_\mu = \mathrm{i} \langle \psi | \partial_\mu \psi\rangle}$

这就是 Berry 联络的表达式。也可以写成：

$\boxed{\mathbf{A} = \mathrm{i} \langle \psi|\nabla \psi\rangle}$

而 Berry 曲率为 Berry 联络的外微分：

$F = \mathrm{d}A$

写成指标形式则为

$ \begin{aligned} F_{\mu\nu} &= \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \\ &= \mathrm{i} \left[\partial_\mu \langle \psi | \partial_\nu \psi\rangle -\partial_\nu \langle \psi | \partial_\mu \psi\rangle \right] \\ &= \mathrm{i} [\langle \partial_\mu \psi| \partial_\nu \psi \rangle - \langle \partial_\nu \psi| \partial_\mu \psi \rangle] \end{aligned} $

即

$\boxed{F_{\mu\nu}=\mathrm{i} [\langle \partial_\mu \psi| \partial_\nu \psi \rangle - \langle \partial_\nu \psi| \partial_\mu \psi \rangle]}$

几何相是联络 1-形式 $A$ 在闭合曲线 $\gamma$ 上的积分：

$\boxed{ \Delta \theta = \int_\gamma A }$

如果存在曲面 $\Sigma$ 使得曲线 $\gamma$ 是 $\Sigma$ 的边界，那么根据 Stokes 定理，有

$\begin{aligned} \Delta \theta = \int_{\partial \Sigma} A = \int_{\Sigma} \mathrm{d}A = \int_\Sigma F \end{aligned}$

其中 $\partial \Sigma$ 表示 $\Sigma$ 的边界。

所以几何相也可以由曲率 2-形式 $F$ 在曲面 $\Sigma$ 上积分得到：

$\boxed{ \Delta \theta = \int_\Sigma F}$

如果我们取 $\Sigma$ 为闭合曲面，则有 $\partial \Sigma=0$ ，此时有

$\Delta \theta = \int_\Sigma F = \int_{\partial \Sigma} A = 0$

然而，在非拓扑平凡的流形上，这个积分不一定为零。这是因为此时无法定义全局的联络 $A$ ，导致 Stokes 定理不再适用。详情我们在下一篇文章中介绍。

注意，几何相 $\Delta \theta$ 并非 $U(1)$ 中的元素，而是 $U(1)$ 的李代数中的元素。换句话说，几何相并不是在 $U(1) = { e^{\mathrm{i}\theta} \mid \theta \in [0,2\pi) }$ 上取值，而是在 $\mathbb{R}$ 上取值。它代表相位的变化量，而不是相位本身。也就是说，几何相可以取 $2\pi, 4\pi$ 等等，且它们和 $0$ 不等价。

在二维晶格中，由于周期性边界条件的存在，电子的动量空间 $M$ 是一个 Torus，即 $M=T^2$ 。此时在 $T^2$ 上对 Berry 曲率 $F$ 积分，就能得到陈数，它不一定为零：

$\int_{M} F = 2 k\pi \quad (k\in\mathbb{Z})$

其中 $k$ 就是陈数，定义为 $k = \frac{1}{2\pi}\int_{M} F$ 。