一次量子化无法描述粒子数的叠加态，更无法描述粒子数变化情况下的动力学

一次量子化和二次量子化的说法很容易让人以为它们是等价的，哪个方便就用哪个，就像薛定谔和海森堡表象一样。实则不然。二次量子化的描述能力是严格强于一次量子化的。一次量子化只是二次量子化在粒子数固定情形下的简化描述，本身是有缺陷的。

概率场 vs 量子场

电磁场不是光子的概率场，正如狄拉克场不是电子的概率场。

概率场只对非相对论情形下的单粒子态适用。而电磁场和狄拉克场属于量子场，要放到量子场论的框架下去讨论。

一、量子态层析（Quantum State Tomography）

目前，人们已经可以制备由成百上千个量子比特所构成的量子态（此处省略二十个参考文献）。

但是我们如何知道制备的量子态 $\rho$ 的确是我们想要的 $\rho$ ？或者更宽泛地说：如何学习一个量子态 $\rho$ 的（部分或者所有）信息？

在前面的文章中，我们说电磁场是联络。这让很多同学想到广义相对论里的联络。这两种联络有什么区别和共同点？

电磁场联络 $A$ 是主丛上的联络，而广义相对论联络 $\Gamma$ 是矢量丛上的联络，它们的定义方式看似很不同。有没有办法将它们联系起来呢？

结论：整数自旋是经典效应，而半整数自旋是量子效应，跟相对论关系不大。

原因很简单：1-自旋是 SO(3) 的最小的忠实（faithful）表示，而 1/2-自旋是 SU(2) 的最小的忠实表示。

个人最喜欢的理解是把 $\Gamma$ 看成标架丛上的联络，这样一来，克氏符的变换规则

$\boxed{ \begin{aligned} \bar{\Gamma}^i_{\mu j} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k}\frac{\partial x^l}{\partial \bar{x}^j} \frac{\partial x^\nu}{\partial \bar{x}^\mu} \Gamma^k_{\nu l} \color{red}{ + \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial^2 x^k}{\partial x^\mu \partial \bar{x}^j}} \end{aligned} }$

就只不过是一个规范变换：

在本篇文章中，我们将从非常复杂的 QED 拉氏量出发：

$\begin{aligned} \mathcal{L}= \bar{\psi}(\mathrm{i}\gamma^\mu \partial_\mu -m)\psi - eA_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \end{aligned} $

这个拉氏量非常复杂：它不仅考虑了电子的反粒子——正电子，并且耦合项 $- eA_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$ 还是一个三次项，可以描述电子-正电子对产生/湮灭等多种过程。它没有解析解，只能用量子场论的微扰法求解。

在前文中，我们说到，如果流形是拓扑平凡的，那么对 Berry 曲率在闭合曲面 $\Sigma$ 上积分应该得到零。这是因为根据 Stokes 定理，有：

$\int_\Sigma F = \int_{\partial \Sigma } A = 0$

然而，在非拓扑平凡的流形上，积分 $\int_\Sigma F$ 不一定为零。这是因为，此时无法定义全局单值的联络 $A$ ，导致 Stokes 定理不再适用。此话怎讲？

电磁场并非电场和磁场。

换句话说，电磁场并不只是电场和磁场。

此话怎讲？

一、电磁势的地位高于场强

在前文中，我们挖过一个坑：

$\boxed{\begin{aligned} \phi &\mapsto \phi - \partial_t \lambda \\ \mathbf{A} &\mapsto \mathbf{A} + \nabla \lambda \end{aligned}}$

学过经典电动力学的同学都知道，这就是电磁规范变换，变换前后不影响实际的物理。

这篇文章需要用到很多上一篇文章中的概念，因此请确保你阅读了上一篇文章。

本文依然采用 $(-,+,+,+)$ 的度规约定。

为什么说电动力学是规范场论？

为了搞清楚这句话是什么意思，我们需要先弄清楚什么是电动力学，以及什么是规范场论。

前言

你可能听说过麦克斯韦方程有很简单的形式：

$\begin{aligned} \mathrm{d} F&=0 \\ \mathrm{d} \star F &= \mu_0 \star J \end{aligned}$

又或者是

$\begin{aligned} \partial_\mu (\star{F})^{\mu \nu}&= 0 \\ \partial_\mu F^{\mu\nu}&= \mu_0 J^\nu \end{aligned}$

注：严格来说，其中 $\mathrm{d}F=0$ （或者 $\partial_\mu (\star{F})^{\mu \nu}= 0$ ）并不属于电磁场的动力学方程，而是属于电磁场自身结构的一部分。这是因为根据场强的定义 $F=\mathrm{d}A$ 就能得到 $\mathrm{d}F=0$ 。

小朋友们好，今天我们来学习什么是笛卡尔积。我们把世界上所有上衣的集合叫做 $a$ ，世界上所有下着的集合叫做 $b$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的笛卡尔积 $a \times b$ 是什么呢？就是所有可能的上下衣装搭配的集合啦（当然，不包括帽子、鞋子、首饰等等）。

个人认为在量子力学的诠释中，目前最有趣的是 Zurek 的 Existential Interpretation（存在主义诠释），也被称为量子达尔文主义（Quantum Darwinism） [1]。Zurek 本人是退相干理论的奠基人之一。

前言

在经典力学中，物理量是相空间上的一个函数，系统状态是相空间上的一个点（对于系综而言则是相空间上的一个概率分布）。这一套语言量子化之后，就得到了量子态/算符的相空间表示，也就是 Wigner 表示。Weyl 表示则是它的傅里叶变换。

学过物理的同学们都知道相空间，它是由广义坐标 $q$ 和广义动量 $p$ 构成的。

例 1：单摆的角度构成一个构型空间 $S_1$ 。角度和角动量构成一个相空间 $S_1 \times \mathbb{R}$ 。

例 2：给定经典电磁场的哈密顿量和边界条件，某个模式上的电场强度构成一个构型空间，该模式上电场强度的余弦分量和正弦分量构成一个相空间。

闲来无事，复习一下黑体辐射吧~

很多讲黑体辐射的文章都要一上来就跟你讲一大段历史，很容易看迷糊。

本文单刀直入，直接闭嘴计算。

1. 黑体辐射公式是什么

黑体辐射公式指的是一个黑体在单位频率中所辐射的能量密度。

1. 精彩的推理

诺奖得主 Ketterle 在8.422公开课中讲经典热光场的 $g^{(2)}$ 时用了一个非常妙的论证：

根据中心极限定理，电场 $E$ 服从高斯分布，于是光强 $I$ 服从指数分布。

1. 前言

在量子力学的早期阶段，拉比为了处理电磁场与原子的相互作用，提出了拉比模型。由于这个模型只量子化了原子，而没有量子化电磁波，因此它虽然能解释众多现象（例如拉比振荡），但不能解释自发辐射这种涉及电磁场量子化的现象。

大部分介绍激光的资料都是以经典或半经典形式推导的。那么激光的全量子理论是什么样的呢？它又有什么用呢？

本文简要介绍激光的 Scully-Lamb 理论，它是一个全量子的理论，由于一般量子光学教材的最后几章才会介绍，加上（半）经典的理论在大部分情况下也很好用，所以熟悉 Scully-Lamb 理论的人并不多。

SPDC产生的频率纠缠光，其中的闲置光经过光纤放大器，还与信号光纠缠吗？

我们先用极限思维，考虑两个极限：

极限1：放大器的增益等于1，也就是没有任何增益